Приложение. Вероятность и ожидаемая полезность

При вычислении ожидаемых выигрышей и равновесий в смешанных стратегиях в данной главе мы должны были выполнить ряд простых действий с вероятностями. Для этого существует несколько несложных правил. Возможно, многие из вас с ними знакомы, но мы дадим здесь краткое описание и объяснение основных понятий, чтобы вы могли в случае необходимости восстановить или восполнить свои знания. Кроме того, мы также покажем, как вычислить математическое ожидание случайных числовых величин.

Основные алгебраические действия с вероятностями

Базовое интуитивное представление вероятности наступления того или иного события формируется в процессе размышлений о частоте, с которой оно происходит случайно в рамках более крупного множества возможных событий. Как правило, любой элемент более крупного множества столь же вероятен, как и любой другой элемент. Следовательно, поиск вероятности интересующего нас события сводится к подсчету числа элементов, соответствующих этому событию, и их делению на общее количество элементов в крупном множестве[111].

Например, в любой стандартной колоде из 52 игральных карт четыре масти (трефы, бубны, червы и пики), по 13 карт разного достоинства в каждой: сначала туз, затем номерные карты от 2 до 10 и фигурные карты — валет, дама, король. Мы можем задать массу разных вопросов о том, с какой вероятностью из данной колоды карт можно извлечь карту определенной масти или достоинства (или масти и достоинства): с какой вероятностью можно вытащить карту пиковой масти? А черную карту? А десятку? А даму пик? И так далее. Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо обладать определенными знаниями о вычислении вероятностей и о действиях с ними. Если бы у нас было две колоды карт (одна с синими рубашками, а другая с зелеными), мы могли бы задать еще более сложные вопросы («С какой вероятностью можно вытащить по одной карте из каждой колоды так, чтобы обе карты оказались валетом бубен?»), но для получения ответа на них по-прежнему использовали бы все те же алгебраические действия с вероятностями.

В широком смысле вероятность — это степень возможности наступления определенного события или совокупности событий. Возможность того, что вы извлечете карту пиковой масти из колоды карт, — просто вероятность наступления события «вытащить пику». В данном случае крупное множество содержит 52 элемента (общее количество в равной степени вероятных возможностей), а событие «вытащить пику» соответствует подмножеству, состоящему из 13 конкретных элементов. Таким образом, у вас есть 13 шансов из 52 вытащить пику, а значит, вероятность сделать это за один раз равна 13/52 = 1/4 = 25 %. Данную ситуацию можно представить себе иначе: у вас есть четыре масти по 13 карт в каждой, следовательно, ваш шанс извлечь карту определенной масти составляет один к четырем, или 25 %. Если бы вы тащили карту несколько раз (каждый раз из полной колоды карт), то из 52 попыток вы не всегда вытаскивали бы пику в точности 13 раз; по воле случая вы порой вытаскивали бы на несколько больше, а иногда на несколько меньше пик. Однако когда извлечение карт из колоды выполняется многократно, существуют разные множества из 52 попыток и этот шанс усредняется. В таком случае вероятность 25 % представляет собой среднее значение частоты вытаскивания карты пиковой масти в большом количестве наблюдений[112].

В алгебре вероятностей все эти идеи сформулированы в общих терминах и выражены формулами, которые вы сможете использовать автоматически вместо того, чтобы каждый раз анализировать все с нуля. Мы обсудим эти формулы вычисления вероятностей в контексте вопросов, которые можно задать в случае вытаскивания карт из стандартной колоды (или из двух колод — с синими и зелеными рубашками)[113]. Этот метод позволит нам предоставить вам как конкретные, так и общие формулы, которые вы сможете применить в будущем. Аналогия с извлечением карт поможет вам проанализировать другие вопросы, касающиеся вероятностей, возникающие в иных контекстах. Обратите внимание на следующее: в обычном языке принято выражать вероятности в процентах, но в алгебраических формулах их следует записывать в виде простых или десятичных дробей, то есть вместо 25 % должно быть 13/52, или 0,25. Мы будем использовать разные способы представления вероятностей в зависимости от ситуации, но вы должны отдавать себе отчет, что во всех этих случаях смысл один и тот же.

А. Правило сложения вероятностей

Первый наш вопрос будет звучать так: если бы нам понадобилось вытянуть одну карту из синей колоды, с какой вероятностью мы извлекли бы карту пиковой масти? И какова вероятность того, что она была бы не пикой? Мы уже знаем, что вероятность вытащить пику составляет 25 % (мы определили это ранее). Но какова вероятность вытащить не пику? Она равна вероятности извлечь трефу, черву или бубну вместо пики. Очевидно, что интересующая нас вероятность должна быть больше любой из отдельных вероятностей, из которых она состоит; на самом деле эта вероятность равна 13/52 (трефы) + 13/52 (бубны) + 13/52 (червы) = 0,75. Слово «или» в нашей вербальной формулировке ответа на вопрос указывает на то, что эти вероятности необходимо суммировать, поскольку мы хотим знать шансы вытащить карту из всех этих трех мастей.

Существует и более простой способ ответить на второй вопрос: отметить, что вытаскивание карты не пиковой масти происходит в оставшихся 75 % случаев. Таким образом, вероятность вытащить не пику составляет 75 % (100 % минус 25 %) или, в более формальном виде, 1 ? 0,25 = 0,75. Как часто бывает при вычислении вероятностей, в данном примере один и тот же результат можно получить двумя разными путями, требующими разных размышлений о событии, вероятность которого мы пытаемся найти. Чуть ниже в данном приложении мы увидим и другие примеры, показывающие, что разные методы вычисления вероятностей порой требуют совершенного разного количества усилий. По мере накопления опыта вы откроете для себя и запомните легкие способы или более короткие пути. А пока утешайте себя тем, что каждый из этих путей, если ему неукоснительно следовать, ведет к получению одного и того же конечного результата.

Обобщим наши предыдущие вычисления. Если разделить множество событий Х на ряд подмножеств Y, Z, …, которые не перекрываются (на языке математики они называются непересекающимися), то сумма вероятностей наступления каждого подмножества равна вероятности полного множества событий; если полное множество событий включает в себя все возможные исходы, то его вероятность равна 1. Иными словами, если наступление события Х требует наступления каждого из нескольких непересекающихся событий, то вероятность Х равна сумме вероятностей отдельных событий Y, Z, …. Обозначив вероятность наступления Х как Prob(X) и запомнив предостережения в отношении Х (это событие требует наступления каждого из событий), а также в отношении Y, Z, … (эти события должны быть непересекающимися), можем записать правило сложения вероятностей в математических обозначениях как Prob(X) = Prob(Y) + Prob(Z) + ….

Упражнение. С помощью правила сложения вероятностей найдите вероятность вытаскивания двух одинаковых карт из двух колод (по одной из каждой колоды).

Б. Правило умножения вероятностей

Теперь давайте поставим вопрос так: какова вероятность того, что две извлеченные (по одной из каждой колоды) нами карты окажутся пиковой масти? Это событие наступит в случае, если мы вытащим пику из синей колоды и пику из зеленой. Переход от «или» к «и» в формулировке ответа на вопрос указывает на переход от математической операции сложения к умножению. Таким образом, вероятность вытащить две пики (по одной из каждой колоды) равна произведению вероятностей вытягивания одной пики из каждой колоды, или (13/52) ? (13/52) = 1/16 = 0,0625, или 6,25 %. Как и следовало ожидать, мы получим две пики с гораздо меньшей вероятностью, чем одну пику в предыдущем разделе. (Всегда проверяйте, соответствуют ли ваши расчеты интуитивной оценке исхода игры.)

Подобно тому как правило сложения требует, чтобы события были непересекающимися, правило умножения требует, чтобы они были независимыми: если разделить множество событий X на ряд подмножеств Y, Z, …, эти подмножества будут независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность другого. Наши события (карта пиковой масти из синей колоды и карта пиковой масти из зеленой) удовлетворяют этому условию; иными словами, вытягивание пики из синей колоды не приводит к изменению вероятности вытягивания пики из зеленой колоды. Однако если бы мы извлекли обе карты из одной колоды, то после вытаскивания пики (с вероятностью 13/52) вероятность вытащить еще одну пику больше не составляла бы 13/52 (на самом деле она равнялась бы 12/51); следовательно, такие события, как вытаскивание одной, а затем второй карты пиковой масти из одной колоды, не относятся к независимым событиям.

Строгая формулировка правила умножения вероятностей гласит, что если наступление события X требует одновременного наступления всего ряда независимых событий Y, Z, …, то вероятность наступления события X равна произведению вероятности наступления отдельных событий Y, Z, …: Prob(X) = Prob(Y) ? Prob(Z) ? ….

Упражнение. С помощью правила умножения вероятностей найдите вероятность вытаскивания двух карт (по одной из каждой колоды), среди которых была бы одна красная карта из синей колоды и одна фигурная из зеленой колоды.

В. Математическое ожидание

Если количественная величина (такая как денежный выигрыш или количество атмосферных осадков) носит случайный характер и может принимать одно из n возможных значений X₁, X₂, …, X_n с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, p_n, то математическое ожидание представляет собой взвешенное по вероятности среднее всех возможных значений этой величины: p₁X₁ + p₂X₂ + … + p_nX_n. Например, предположим, вы заключаете пари на подбрасывание двух монет. Если выпадут два орла, вы получите 5 долларов, если один орел и одна решка — 1 доллар, а если две решки, то ничего. Воспользовавшись правилами выполнения действий с вероятностями, о которых шла речь выше, вы можете определить, что вероятность наступления этих событий составляет 0,25, 0,50 и 0,25 соответственно. Следовательно, ваш ожидаемый выигрыш составит (0,25 ? 5) + (0,50 ? 1) + (0,25 ? 0) = 1,75 доллара.

В теории игр в качестве числовых величин, которые необходимо привести к среднему значению таким способом, выступают выигрыши, выраженные в виде численных показателей, или денег, или, как мы увидим в приложении к главе 8, в виде полезности. В каждом контексте мы будем обозначать математическое ожидание соответствующими терминами, такими как ожидаемый выигрыш или ожидаемая полезность.

Резюме

Вероятность события — это возможность его случайного наступления в рамках более крупного множества возможных событий. Вероятности можно вычислять на основании определенных правил. Правило сложения вероятностей гласит, что вероятность наступления любого количества непересекающихся событий равна сумме вероятностей этих событий. Согласно правилу умножения вероятностей, вероятность наступления ряда независимых событий равна произведению их вероятностей. Для вычисления ожидаемых выигрышей в игре используются взвешенные по вероятности средние значения.

Ключевые термины

Вероятность

Математическое ожидание

Независимые события

Непересекающиеся множества

Правило сложения вероятностей

Правило умножения вероятностей