2. Парадоксы голосования

Даже когда люди голосуют в соответствии со своими истинными предпочтениями, конкретные условия, касающиеся предпочтений избирателей и процедур голосования, могут обусловить любопытные результаты. Кроме того, порой итоги выборов в значительной степени зависят от типа процедуры, используемой для агрегирования голосов. В данном разделе описаны несколько самых известных результатов такого рода (так называемых парадоксов голосования), а также ряд примеров того, как итоги выборов могут меняться вследствие применения разных методов агрегирования голосов без каких-либо изменений предпочтений и без использования стратегического голосования.

Парадокс Кондорсе — один из самых известных и важных парадоксов голосования[259]. Как уже отмечалось ранее, согласно методу Кондорсе, победителем становится кандидат, получающий большинство голосов в каждом раунде парных сравнений. Парадокс Кондорсе возникает, когда этот процесс не позволяет определить победителя.

Для того чтобы проиллюстрировать данный парадокс, составим пример, в котором три человека голосуют за три альтернативных исхода посредством метода Кондорсе. Рассмотрим ситуацию, когда троим членам городского совета («левый», «центральный» и «правый») предлагают ранжировать свои предпочтения относительно трех альтернативных вариантов политики социального обеспечения: первый подразумевает увеличение размера имеющихся социальных пособий (назовем его «щедрым» и обозначим буквой Щ); второй предусматривает сокращение размера социальных пособий («сокращенный», С), а третий сохраняет существующее положение вещей («промежуточный», П). Членов городского совета просят проголосовать за каждую пару вариантов политики социального обеспечения, чтобы определить порядок их предпочтений, или ранжирование социальных предпочтений. Такое ранжирование призвано выяснить, как совет в целом оценивает преимущества возможных вариантов системы социального обеспечения.

Предположим, «левый» член совета ратует за более высокие социальные выплаты, тогда как «центральный» склонен сохранить статус-кво, но его беспокоит бюджет города, поэтому он не готов к увеличению размера социальных пособий. И наконец, «правый» член совета больше всего стремится сократить размер социальных пособий, но предпочитает их рост сохранению текущего уровня, поскольку полагает, что увеличение размера пособий вскоре приведет к серьезному бюджетному кризису, который настолько настроит общественное мнение против социальных выплат, что это надолго закрепит их низкие значения, тогда как статус-кво может сохраняться до бесконечности. Все эти предпочтения членов совета отражены на рис. 15.1, где изогнутый знак «больше» служит для обозначения того, что одна альтернатива предпочитается другой. (Строго говоря, знак  обозначается как бинарное отношение порядка.)

Рис. 15.1. Предпочтения членов совета в отношении различных вариантов политики социального обеспечения

При таких предпочтениях в парном сравнении щедрого варианта с промежуточным выигрывает щедрый вариант. В следующем парном сравнении промежуточного и сокращенного вариантов побеждает промежуточный. А в последнем парном сравнении щедрого варианта с сокращенным голоса снова распределяются как 2 к 1, на этот раз в пользу сокращенного варианта. Следовательно, если городской совет проголосует за альтернативные пары вариантов политики социального обеспечения, то большинство предпочтет щедрый вариант промежуточному, промежуточный сокращенному и сокращенный щедрому, то есть предпочтения группы образуют цикл: Щ  П  С  Щ.

Такой цикл предпочтений представляет собой пример нетранзитивного ранжирования предпочтений. Концепция рациональности обычно подразумевает, что ранжирование индивидуальных предпочтений транзитивно (противоположность нетранзитивного). Если человек выбирает из вариантов А, Б и В и вы знаете, что он предпочитает А по сравнению с Б и Б по сравнению с В, то, согласно свойству транзитивности, он также предпочтет А по сравнению с В. (Эта терминология происходит от концепции транзитивности чисел в математике; например, если 3 > 2 и 2 > 1, значит, 3 > 1.) Транзитивное ранжирование предпочтений не образует цикл, в отличие от ранжирования социальных предпочтений, как в примере с городским советом, следовательно, мы говорим, что определение предпочтений в этом примере нетранзитивно.

Обратите внимание, что у каждого из трех членов совета транзитивные предпочтения в отношении трех альтернативных вариантов политики социального обеспечения, тогда как предпочтения совета в целом нетранзитивны. В этом и состоит парадокс Кондорсе: даже если ранжирование индивидуальных предпочтений транзитивно, нет никаких гарантий, что ранжирование социальных предпочтений, сформированное путем голосования по методу Кондорсе, также будет транзитивным. Этот результат имеет далеко идущие последствия для государственных служащих и широкой общественности, поскольку ставит под сомнение такую основополагающую концепцию, как «интересы общества», так как их не всегда легко определить или их может даже не быть вовсе. У нашего городского совета нет четко обозначенной системы коллективных предпочтений в отношении политики социального обеспечения. Из этого следует вывод: общества, учреждения и другие большие группы людей не всегда нужно рассматривать как субъекты, действующие подобно отдельным людям.

Парадокс Кондорсе может возникать и в более общем контексте. Нет никаких гарантий, что ранжирование социальных предпочтений, обусловленное любым формальным процессом коллективного голосования, будет транзитивным только по причине транзитивности ранжирования индивидуальных предпочтений. Тем не менее, по некоторым оценкам, такой парадокс чаще всего возникает, когда большие группы людей рассматривают большое количество альтернатив. В менее многочисленных группах людей с меньшим количеством альтернатив чаще наблюдаются схожие предпочтения в отношении этих альтернатив, поэтому в них появление парадокса Кондорсе менее вероятно[260]. В нашем примере парадокс возник из-за разногласий членов совета не только по поводу того, какой вариант лучший, но и какой худший. Хотя чем меньше группа, тем ниже вероятность получения такого результата.

Второй парадокс, который мы рассмотрим, также подразумевает применение процедуры бинарного голосования, но касается порядка представленных в ней альтернатив. В контексте работы парламента, где председатель комитета устанавливает порядок голосования по выбору одного из трех альтернативных вариантов, именно от председателя в значительной мере зависит окончательный итог голосования. В действительности председатель может воспользоваться нетранзитивностью ранжирования социальных предпочтений, вытекающей из определенной совокупности индивидуальных предпочтений, для манипулирования результатами голосования по собственному усмотрению, выбирая для этого соответствующий порядок.

Снова рассмотрим членов городского совета («левого», «центрального» и «правого»), которые должны выбрать один из вариантов политики социального обеспечения — щедрый, промежуточный или сокращенный. Предпочтения членов совета в отношении этих альтернатив показаны на рис. 15.1. Предположим, мэр города назначает одного из них председателем городского совета и наделяет правом решать, какие два варианта социальной политики ставить на голосование первыми и какой вариант будет состязаться с победителем первого тура голосования. При данной совокупности предпочтений членов совета и общем знании о ранжировании этих предпочтений председатель может получить любой желаемый результат. Например, если бы должность председателя занял «левый» член совета, он мог бы организовать победу щедрого варианта, выставив промежуточный вариант против сокращенного в первом туре голосования, победитель которого состязался бы со щедрым во втором туре. Ситуация, в которой любое окончательное ранжирование можно получить посредством выбора надлежащей процедуры, известна как парадокс повестки дня.

Порядок вопросов в повестке дня — единственный фактор, определяющий окончательный результат в примере с городским советом. В данном случае установление повестки дня — настоящая игра, а поскольку повестку дня определяет председатель городского совета, его назначение или избрание открывает возможность для стратегических действий. Здесь, как и в большинстве других стратегических ситуаций, то, что на первый взгляд кажется игрой (в данном случае имеется в виду выбор политики социального обеспечения), — вовсе не игра; ее участники делают стратегический ход на более раннем этапе (выбор председателя) и голосуют в соответствии с установленными предпочтениями во время последующего голосования.

Тем не менее влияние того, кто устанавливает повестку дня, дает основания полагать, что во время первого тура голосующие выбирают между двумя альтернативами (в нашем примере между промежуточным и сокращенным вариантами) исключительно исходя из своих предпочтений, не учитывая возможный результат всей процедуры голосования. Такое поведение называют искренним голосованием; на самом деле уместнее было бы назвать его близоруким или нестратегическим. Если «центральный» член совета — игрок, ведущий стратегическую игру, он должен осознавать, что если выберет сокращенный вариант в первом туре (хотя он и предпочитает промежуточный на данном этапе), то сокращенный вариант не только в нем победит, но и выиграет второй тур в противостоянии со щедрым вариантом при поддержке со стороны «правого» члена совета. В качестве окончательного результата «центральный» член совета предпочтет сокращенный вариант щедрому. Следовательно, он должен выполнить такой анализ методом обратных рассуждений и проголосовать стратегически в первом туре. Но следует ли ему это делать, если остальные также прибегнут к стратегическому голосованию? В разделе 4 мы проанализируем игру «стратегическое голосование» и найдем ее равновесие.

Позиционные методы голосования также порой приводят к парадоксальным результатам. Например, подсчет Борда может обусловить парадокс перестановки при изменении списка кандидатов, предоставленного участникам голосования. Этот парадокс возникает в случае выборов с участием минимум четырех альтернатив, когда одна из них исключается из рассмотрения после подачи голосов, что влечет за собой необходимость их повторного подсчета.

Предположим, отобраны четыре кандидата (Стив Карлтон, Сэнди Коуфакс, Робин Робертс и Том Сивер) на получение специального (гипотетического) памятного приза Сая Янга, который присуждается питчеру высшей лиги бейсбола, завершившему бейсбольную карьеру. Семи известным спортивным комментаторам предлагают ранжировать предпочтения в отношении этих претендентов в своих бюллетенях. Питчер с самым высоким рейтингом в каждом бюллетене получает 4 балла; питчеры, занявшие второе, третье и четвертое места, набирают меньшее количество баллов.

У семи спортивных комментаторов, участвующих в голосовании, есть три разных варианта ранжирования предпочтений в отношении кандидатов на присуждение приза; количество комментаторов, соответствующее каждому варианту ранжирования предпочтений, указано в таблице на рис. 15.2. После подсчета голосов Сивер получает (2 ? 3) + (3 ? 2) + (2 ? 4) = 20 баллов, Коуфакс (2 ? 4) + (3 ? 3) + (2 ? 1) = 19 баллов, Карлтон (2 ? 1) + (3 ? 4) + (2 ? 2) = 18 баллов и Робертс (2 ? 2) + (3 ? 1) + (2 ? 3) = 13 баллов. Сивер побеждает в голосовании, за ним следуют Коуфакс, Карлтон и Робертс.

Рис. 15.2. Предпочтения спортивных комментаторов в отношении питчеров

Но допустим, затем выясняется, что в действительности Робертс не имеет права на получение награды, потому что никогда не получал приз Сая Янга, достигнув пика своей карьеры еще до того, как в 1956 году он был учрежден. Это открытие требует пересчета баллов без учета имени Робертса в бюллетене. Таким образом, верхняя позиция в каждом бюллетене получает 3 балла, вторая и третья 2 и 1 балл соответственно. Бюллетени спортивных комментаторов, например с первым вариантом ранжирования предпочтений, теперь обеспечивают Коуфаксу и Сиверу 3 и 2 балла соответственно, а не 4 и 3 балла, как в предыдущем случае; эти же бюллетени дают Карлтону один балл за последнее место.

Подсчет голосов в случае пересмотренной системы присвоения баллов показывает, что Карлтон набирает 15 баллов, Коуфакс — 14 баллов, а Сивер — 13 баллов. В итоге победитель становится проигравшим, поскольку новые результаты меняют позиции, установленные в первом варианте голосования, причем этот исход получен при отсутствии каких бы то ни было изменений в ранжировании предпочтений. В разделе 3 мы определим ключевой принцип агрегирования голосов, нарушенный при подсчете Борда, который приводит к парадоксу перестановки.

Как должно следовать из предыдущих объяснений, разные правила голосования могут обеспечивать разные результаты. В качестве примера рассмотрим 100 избирателей, которых можно разбить на три группы на основании их предпочтений в отношении трех кандидатов (А, Б и В). Выбор трех групп избирателей отображен на рис. 15.3. При таких предпочтениях в зависимости от применяемого метода агрегирования голосов у любого из трех кандидатов есть шанс выиграть выборы.

Рис. 15.3. Предпочтения групп избирателей в отношении кандидатов

При использовании принципа относительного большинства выигрывает кандидат А, получивший 40 % голосов, хотя 60 % избирателей отдают ему наименьшее предпочтение из всех троих кандидатов. Очевидно, что сторонники кандидата А выбрали бы этот метод голосования. Если бы у них была возможность выбирать систему голосования, то принцип относительного большинства (на первый взгляд справедливый) обеспечил бы кандидату А победу на выборах, несмотря на сильную неприязнь к нему большинства избирателей.

Однако подсчет Борда привел бы к другому результату. В системе Борда 3 балла получает наиболее рейтинговый среди избирателей кандидат, 2 балла — кандидат, занявший среднюю позицию, и 1 балл — кандидат с наименьшим числом голосов. В таком случае кандидат А имеет 40 голосов за первое и 60 голосов за третье место, что в сумме дает 40(3) + 60(1) = 180 баллов. Кандидат Б получает 25 голосов за первое и 75 голосов за второе место; в сумме это 25(3) + 75(2) = 225 баллов. Кандидат В получает 35 голосов за первое, 25 голосов за второе и 40 голосов за третье место, что в сумме равно 35(3) + 25(2) + 40(1) = 195 баллов. При такой процедуре подсчета голосов побеждает кандидат Б, кандидат В становится вторым, а кандидат А — третьим. Кандидат Б выигрывает выборы и в случае применения метода относительного антибольшинства, при котором избиратели отдают голоса за всех кандидатов, кроме наименее предпочтительного.

А как насчет кандидата В? Он может выиграть выборы при использовании системы относительного большинства или мгновенного второго тура. В любом из этих случаев кандидаты А и В, получившие 40 и 35 голосов в первом туре, выходят во второй тур. Система простого большинства со вторым туром потребовала бы от избирателей повторного выбора между А и В, тогда как система мгновенного второго тура привела бы к исключению кандидата Б и передаче его голосов (из второй группы избирателей) альтернативе со следующим уровнем предпочтения, то есть кандидату В. В итоге кандидат В победит во втором туре с перевесом голосов 60 против 40, поскольку кандидат А — наименее предпочтительная альтернатива для 60 из 100 избирателей.

Еще одним примером получения разных результатов вследствие применения разных процедур голосования могут служить выборы мэра Окленда в 2010 году, о которых мы упоминали во вступлении к данной главе. В настоящее время голосование по выбору места проведения Олимпийских игр проходит по системе мгновенного второго тура вместо нескольких этапов голосования по принципу относительного большинства с последовательным исключением. Такое изменение было сделано после получения весьма неожиданных результатов в ходе выбора городов для проведения игр 1996-го и 2000 годов. В обоих случаях победитель по принципу относительного большинства во всех турах голосования, кроме предпоследнего, проиграл в состязании с оставшимся городом в последнем туре. Афины проиграли Атланте в борьбе за право проведения Олимпийских игр 1996 года, а Пекин — Сиднею за право проведения Олимпийских игр 2000 года.