Упражнения без решений

U1. Выполните упражнение S1 для ситуации, в которой Б устанавливает порядок голосования и хочет сделать так, чтобы победила социология.

U2. Выполните упражнение S2, определив систему весов в подсчете Борда, при которой победит кандидат Б.

U3. Ежегодно кубок Хайсмана присуждается игрокам университетского футбола посредством подсчета Борда. Каждый голосующий голосует за первое, второе и третье место, присваивая им 3, 2 и 1 балл соответственно. Таким образом, схему присвоения баллов в системе Борда можно обозначить как (3–2–1), где первая цифра — количество баллов, соответствующих голосу за первое место, вторая цифра — за второе и третья — за третье место. В 2004 году голоса за первых пятерых кандидатов на получение кубка по системе Борда распределились так:

a) Сравните суммы баллов, полученные Лейнартом и Питерсоном. С каким отрывом по баллам в системе Борда победил Лейнарт?

b) Кажется вполне справедливым, что схема присвоения баллов должна обеспечивать голосу за первое место как минимум такой же вес, как и голосу за второе место, а голосу за второе место как минимум такой же вес, как и голосу за третье место. Другими словами, в схеме присвоения баллов (x — y — z) должно выполняться условие x ? y ? z. Существует ли схема присвоения баллов с учетом этого ограничения «справедливости», при которой Лейнарт проиграл бы? Если да, опишите ее. Если нет, обоснуйте свой вывод.

c) Хотя Уайт получил больше голосов за первое место, чем Питерсон, последний набрал большее общее количество баллов в системе Борда. Предположим, голос за второе место получает 2 балла, а за третье 1 балл, то есть схема присвоения баллов такова: (x — 2–1). При каком минимальном целом значении x Уайт получит большее количество баллов в системе Борда, чем Питерсон?

d) Допустим, представленные выше данные о голосовании отображают истинные предпочтения его участников. Для простоты будем считать, что голосование проводится по принципу относительного большинства, а не по методу Борда. Обратите внимание, что и Лейнарт, и Буш из Университета Южной Калифорнии (USC), тогда как Питерсон и Уайт — из Оклахомы. Предположим, что по причине лояльности к Оклахоме все участники голосования, отдающие предпочтение Уайту, ставят на второе место Питерсона. Если бы они использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, могли бы они изменить исход выборов? Обоснуйте свой вывод.

f) Теперь представим, что по причине лояльности к Университету Южной Калифорнии все участники голосования, предпочитающие Буша, ставят на второе место Лейнарта. Если бы все четыре группы голосующих (за Лейнарта, Питерсона, Уайта и Буша) использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, то кто бы получил кубок Хайсмана?

g) В 2004 году за присуждение кубка Хайсмана голосовало 923 человека. При фактической системе присвоения голосов (3–2–1) какое минимальное целое количество голосов понадобилось бы для победы (то есть без помощи голосов, отданных за второе или третье место)? Обратите внимание, что имя игрока может быть указано в бюллетене только один раз.

U4. Фигуристы на Олимпийских играх откатывают две программы, короткую и произвольную. За выполнение каждой программы жюри из девяти судей выставляет фигуристам оценки, а затем составляет их рейтинг. Позиция фигуриста в рейтинге используется для определения окончательной оценки. Рейтинг фигуриста зависит от того, сколько судей отдадут ему первое (второе или третье) место; фигурист, которого считают лучшим большинство судей, получает в рейтинге первое место и т. д. При подсчете окончательной оценки фигуриста короткая программа получает половину веса произвольной программы (то есть окончательная оценка = 0,5 (рейтинг в короткой программе) + рейтинг в произвольной программе). Фигурист с самой низкой окончательной оценкой выигрывает золотую медаль. В случае равных оценок золотая медаль достается фигуристу с самым высоким (по мнению большинства судей) рейтингом в произвольной программе. В 2002 году, во время соревнований по одиночному фигурному катанию среди женщин в Солт-Лейк-Сити Мишель Кван занимала первое место после короткой программы. Далее следовали Ирина Слуцкая, Саша Коэн и Сара Хьюз, занимавшие соответственно второе, третье и четвертое места. В произвольной программе оценки на карточках судей, выставленные этим четырем фигуристкам, распределились следующим образом:

a) На Олимпиаде Слуцкая выступала последней из ведущих фигуристов. Используйте информацию на карточках судей, чтобы определить рейтинги судей, выставленные Кван, Коэн и Хьюз за произвольную программу до выступления Слуцкой. Затем, воспользовавшись указанными выше позициями в рейтинге за короткую программу и только что вычисленным вами рейтингом за произвольную программу, определите окончательные оценки и позиции этих трех фигуристок до выступления Слуцкой. (Обратите внимание, что у Кван в короткой программе был рейтинг 1, значит, ее частичная оценка после короткой программы составляет 0,5.)

b) На основании вашего ответа в пункте а определите, каким был бы окончательный результат соревнований, если бы судьи присвоили Слуцкой за произвольную программу более высокий рейтинг, чем рейтинг остальных трех фигуристок.

c) С помощью карточек судей вычислите фактические окончательные оценки всех четырех фигуристок после выступления Слуцкой. Как бы в итоге распределились места?

d) Какой важный принцип из сформулированных Эрроу нарушает система оценивания олимпийских соревнований по фигурному катанию? Обоснуйте свой вывод.

U5. В 2008 году, во время выдвижения кандидатов в президенты США, в супервторник, 5 февраля, в форме первичных выборов и партийных собраний Республиканской партии прошло 21 мероприятие. К этому дню (всего через месяц после партийного собрания в штате Айова, которое положило начало всему процессу) более половины кандидатов от Республиканской партии уже выбыли из гонки; осталось всего четыре кандидата: Джон Маккейн, Митт Ромни, Майк Хакаби и Рон Пол. Ранее Маккейн, Ромни и Хакаби выигрывали минимум в одном штате. За неделю до этого важного дня Маккейн победил Ромни во Флориде, и в тот момент казалось, будто только у них двоих есть реальные шансы на выдвижение кандидатом в президенты. В этом сезоне первичных выборов, что типично для Республиканской партии, почти каждое состязание между кандидатами от «великой старой партии» (будь то в форме первичных выборов или партийного собрания) было решающим, поэтому победа в определенном штате позволила бы кандидату получить голоса всех делегатов, закрепленных за этим штатом Национальным комитетом Республиканской партии.

Партийное собрание в штате Западная Вирджиния было первым в супервторник, а поскольку оно проводилось во второй половине дня, то было коротким. Штат находится в восточном часовом поясе, поэтому новости о результатах собрания стали известны за несколько часов до закрытия избирательных участков во многих штатах, в которых в тот день проходило голосование.

Следующая задача основана на результатах этого закрытого партийного собрания. Как и следовало ожидать, у его участников были разные предпочтения в отношении кандидатов. Одни выступали за Маккейна, другие симпатизировали Ромни или Хакаби. Разумеется, у избирателей тоже были разные предпочтения относительно того, кого они хотели бы видеть победителем, если бы их любимый кандидат проиграл. Существенно упростив реальную ситуацию (но опираясь на фактические данные голосования), предположим, что в тот день было семь типов участников закрытого собрания Республиканской партии в штате Западная Вирджиния, а доля этих типов и их предпочтения были такими:

Никто не знал распределения предпочтений участников партийного собрания по выдвижению кандидата, поэтому все голосовали в соответствии со своими истинными предпочтениями. В итоге Ромни получил в первом туре относительное большинство голосов в 41 %.

После каждого тура голосования, если ни один кандидат не набирает большинства голосов, кандидат с наименьшим количеством голосов исключается из рассмотрения, а его сторонники голосуют за одного из оставшихся кандидатов в следующих турах.

a) Какими были бы результаты второго тура в случае правдивого (нестратегического) голосования за оставшихся троих кандидатов?

b) Если бы в Западной Вирджинии проводились парные голосования среди четырех кандидатов, какое из них обеспечило бы победителя по Кондорсе в случае правдивого голосования?

c) На самом деле результаты второго тура голосования были такими: Хакаби — 52 %, Ромни — 47 %, Маккейн — 1 %. Как такое могло произойти, учитывая предпочтения избирателей Маккейна? (Подсказка: чем отличался бы результат, если бы Западная Вирджиния в тот супервторник голосовала последней?)

d) После окончания голосования в предвыборном штабе Ромни возмутились и обвинили сторонников Маккейна и Хакаби в заключении закулисной сделки (см. Susan Davis, “Romney Cries Foul in W. Va. Loss,” Wall Street Journal, February 5, 2008; http://blogs.wsj.com/washwire/2008/02/05/huckabee-wins-first-super-tuesday-contest/?mod=WSJBlog). Были ли основания у штаба Ромни подозревать в сговоре сторонников Маккейна и Хакаби в этом случае? Объясните, почему да или почему нет.

U6. Вернемся к анализу системы мгновенного второго тура (instant runoff voting, IRV) в упражнении S6.

a) Проанализируйте следующие бюллетени IRV пяти участников голосования:

Есть ли у кого-то из них стимул голосовать стратегически? Если есть, то у кого и почему? Если нет, объясните почему.

b) Проанализируйте следующую таблицу, в которой представлены бюллетени IRV семи жителей города, голосующих за пять программных предложений, выдвинутых мэром:

Если предположить, что все кандидаты (или варианты проводимой политики), получившие одинаковое минимальное количество голосов, исключаются из списка одновременно, то при каких условиях одно из предложений гарантированно наберет большинство голосов? Другими словами, при каких условиях может не быть ни одного однозначного победителя, получившего большинство голосов? (Подсказка: насколько важно для Эванса, Фостера и Гарсии полностью заполнить свои бюллетени?) Как изменятся эти условия, если в город приедет Харрис и примет участие в голосовании?

U7. Вспомните о городском совете, состоящем из трех членов, рассматривающем три альтернативных варианта политики социального обеспечения в разделе 4.В. В этом примере три члена совета («левый», «центральный» и «правый») голосовали за варианты П и С в первом туре, а победитель состязался с вариантом Щ во втором туре. Но никто не знает наверняка, сколько членов совета имеет каждую совокупность вероятных предпочтений. Возможные варианты ранжирования предпочтений показаны на рис. 15.1. Каждый член совета знает свой тип, а также значения вероятности наблюдения каждого типа участников голосования р_Л, р_Ц, р_П (р_Л + р_Ц + р_П = 1). Поведение представителей «центрального» типа в первом раунде голосования — единственная неизвестная величина в этой ситуации, зависящая от значений вероятности того, что будут присутствовать различные типы предпочтений. Предположим, участник голосования «центрального» типа убежден (в отличие от ситуации, которая рассматривалась в главе), что другой участник голосования «центрального» типа прибегнет к стратегическому голосованию; также допустим, что выигрыши голосующего «центрального» типа такие же, как и в разделе 4.В: выигрыш 1 в случае победы варианта П, выигрыш 0 в случае победы Щ и выигрыш 0 < u < 1 в случае победы варианта С.

a) При какой конфигурации двух других голосов голос представителя «центрального» типа может повлиять на результат голосования? С учетом предположения этого члена совета в отношении поведения другого участника «центрального» типа, как он мог бы определить источник голосов, поданных в первом туре?

b) Придерживаясь той же процедуры анализа, что и в разделе 4.В, определите ожидаемый выигрыш члена совета «центрального» типа в случае, если он голосует в соответствии со своими предпочтениями. Сравните его с ожидаемым выигрышем в случае стратегического голосования. При каком условии член совета прибегнет к стратегическому голосованию?