7. Отсутствие равновесия в чистых стратегиях

В каждой из рассмотренных выше игр было минимум одно равновесие Нэша в чистых стратегиях. В некоторых играх, таких как в разделе 6, было больше одного равновесия, тогда как в предыдущих разделах представлены игры ровно с одним. К сожалению, не все игры, анализируемые нами в процессе изучения стратегии и теории игр, будут иметь легко поддающиеся определению исходы, при которых игроки всегда выбирают одно конкретное действие в качестве равновесной стратегии. В данном разделе мы проанализируем игры, в которых отсутствует равновесие Нэша в чистых стратегиях и ни один из игроков не выбирает неизменно одну и ту же стратегию в качестве своего равновесного действия.

Простой пример такой игры — розыгрыш одного очка в теннисном матче. Представьте себе матч между двумя лучшими теннисистками всех времен — Мартиной Навратиловой и Крис Эверт[56]. Навратилова у сетки только что отправила мяч в сторону Эверт на задней линии, а Эверт вот-вот сделает обводящий удар. Она может попытаться послать мяч либо по линии (ПЛ, сильный прямой удар), либо по диагонали (ПД, более мягкий удар из одного угла корта в другой). Навратилова точно так же должна подготовиться, чтобы прикрыть какую-то одну сторону. Каждая участница игры знает, что не должна давать сопернице никаких подсказок в отношении запланированного действия, понимая, что эта информация будет использована против нее. Навратилова попыталась бы прикрыть ту сторону, в которую Эверт планирует послать мяч, а Эверт сделала бы удар в ту сторону, которую Навратилова не собирается прикрывать. Обе теннисистки должны выполнить соответствующее действие за долю секунды, и обе умеют хорошо скрывать свои намерения до последнего момента. Следовательно, их действия фактически одновременны, поэтому мы можем проанализировать этот розыгрыш очка как игру с одновременными ходами с двумя участниками.

Выигрыши в игре с розыгрышем очков в теннисе соответствуют относительному количеству случаев, когда игрок выигрывает очко в той или иной комбинации обводящего удара и прикрывающей игры. Учитывая, что обводящий удар по линии сильнее удара по диагонали и что Эверт с большей вероятностью выиграет, если Навратилова попытается прикрыть не ту сторону корта, мы можем сформировать приемлемую систему выигрышей. Предположим, Эверт добьется успеха в 80 % обводящих ударов по линии, если Навратилова прикроет корт на случай удара по диагонали, и только в 50 % обводящих ударов по линии, если Навратилова прикроет корт на случай удара по линии. Точно так же Эверт добьется успеха в 90 % ударов по диагонали, если Навратилова прикроет корт на случай удара по линии. Эта доля результативных ударов выше, чем при попытке Навратиловой прикрыть корт на случай удара по диагонали — тогда Эверт выиграет очки только в 20 % случаев.

Очевидно, что доля побед Навратиловой в игре равна разности между 100 % и долей побед Эверт. Следовательно, это игра с нулевой суммой (хотя формально сумма выигрышей двух участниц составляет 100), поэтому мы можем представить всю необходимую информацию в таблице выигрышей, отобразив в каждой ячейке только выигрыш Эверт. На рис. 4.14 показана таблица выигрышей и доля побед Эверт в розыгрышах очков против Навратиловой в каждой из четырех возможных комбинаций их выбора стратегий.

Рис. 4.14. Отсутствие равновесия в чистых стратегиях

Правила решения игр с одновременными ходами говорят нам о том, что сначала следует попытаться найти доминирующие или доминируемые стратегии, а затем использовать анализ наилучшего ответа для поиска равновесия Нэша. Это полезное упражнение позволяет убедиться, что в данной игре нет доминирующих стратегий. Выполнив анализ наилучших ответов, мы приходим к выводу, что лучший ответ Эверт на стратегию ПЛ — стратегия ПД, а на стратегию ПД — стратегия ПЛ. Напротив, наилучший ответ Навратиловой на стратегию ПЛ — стратегия ПЛ, а на стратегию ПД — стратегия ПД. Ни в одной ячейке таблицы выигрышей равновесия Нэша нет, поскольку каждая теннисистка упорно пытается изменить свою стратегию. Например, начав с верхней левой ячейки таблицы, мы обнаружим, что Эверт предпочитает перейти от стратегии ПЛ к стратегии ПД, увеличив свой выигрыш с 50 до 90 процентов. Однако в левой нижней ячейке таблицы мы видим, что Навратилова считает разумным переключиться со стратегии ПЛ на ПД, увеличив свой выигрыш с 10 до 80 процентов. Как вы можете убедиться сами, аналогичным образом Эверт стремится изменить стратегии в нижней левой ячейке, а Навратилова — в верхней правой. В каждой ячейке таблицы одна участница неизменно старается изменить игру, поэтому мы можем бесконечно перемещаться в таблице по кругу в поисках равновесия.

Отсутствие равновесия Нэша в этой и других подобных играх содержит один значимый сигнал: в играх такого типа важно не то, что игроки должны сделать, а то, чего они не должны делать. В частности, каждая участница игры не должна постоянно или систематически выбирать один и тот же удар, оказываясь в такой ситуации. Если любая из теннисисток будет придерживаться определенной линии поведения, другая может воспользоваться этим. (Например, если бы Эверт постоянно делала обводящий удар по диагонали, Навратилова бы знала, что ей каждый раз необходимо прикрывать соответствующую сторону корта, и тем самым снизила бы шансы Эверт на успешное выполнение удара по диагонали.) Самое разумное, что могут сделать участницы игры, — действовать несколько бессистемно, рассчитывая на то, что элемент неожиданности поможет победить соперницу. Асимметричный подход подразумевает выбор каждой стратегии в определенном количестве случаев. (Эверт следует использовать свой более слабый удар достаточно часто, чтобы Навратилова не могла предугадать, какой удар будет направлен в ее сторону. Однако она не должна использовать удары двух типов по установленной схеме, поскольку это также приведет к потере элемента неожиданности.) Подход, при котором игроки выбирают действия случайным образом, известный как смешивание стратегий, подробно рассматривается в главе 7. Игра, представленная на рис. 4.14, может не иметь равновесия в чистых стратегиях, но ее все же можно решить посредством поиска равновесия в смешанных стратегиях, что мы и сделаем в разделе 1 главы 7.