Упражнения с решениями

S1. «Если дилемма заключенных повторяется 100 раз и оба игрока знают, сколько будет повторений, они непременно достигнут кооперативного исхода». Верно ли это? Обоснуйте свой ответ и приведите пример игры, которая его иллюстрирует.

S2. Рассмотрим игру с двумя участниками между Child’s Play и Kid’s Korner — производителями деревянных игровых комплексов для детей. Каждый игрок может установить либо высокую, либо низкую цену на стандартный игровой комплекс с двумя качелями и одной горкой. Если обе компании назначат высокую цену, прибыль каждой составит 64 000 долларов в год. Если одна компания установит низкую цену, а другая высокую, первая получит прибыль 72 000 в год, тогда как вторая — всего 20 000 долларов. Если обе компании назначат низкую цену, каждая получит по 57 000 долларов.

a) Убедитесь, что эта игра имеет структуру дилеммы заключенных, проанализировав выигрыши в случае разных комбинаций стратегий (обе компании выбирают сотрудничество, обе компании отказываются от сотрудничества, одна компания отказывается от сотрудничества и т. д.). Найдите стратегии и выигрыши в случае равновесия Нэша в этой игре с одновременными ходами, если игроки встречаются и принимают решения об установлении цен только один раз.

b) Если две компании решают сыграть в эту игру на протяжении фиксированного периода (скажем, 4 года), какой будет общая прибыль каждой из них к концу игры? (Не применяйте дисконтирование.) Объясните, как вы получили свой ответ.

c) Предположим, две компании постоянно играют в эту повторяющуюся игру. Пусть каждая из них использует стратегию бесповоротного наказания, в соответствии с которой обе назначают высокую цену до тех пор, пока одна не откажется от сотрудничества, и тогда обе компании установят низкую цену на весь оставшийся период. Какова однократная прибыль в результате отказа от сотрудничества в игре против соперника, использующего такую стратегию? Каковы убытки каждой компании за каждый будущий период в случае одного отказа от сотрудничества? Если r = 0, 25 (? = 0,8), насколько целесообразно им сотрудничать? Определите диапазон значений r (или ?), при которых эта стратегия способна обеспечить сотрудничество между двумя компаниями.

d) Допустим, компании снова и снова год за годом играют в эту игру, не ожидая никаких изменений во взаимодействии друг с другом. Если бы мир перестал существовать через 4 года и ни одна из компаний не знала бы об этом заранее, какой была бы общая прибыль каждой из них (не дисконтированная) к концу игры? Сравните полученный ответ с ответом в пункте b. Объясните, почему они отличаются (если это действительно так) или почему одинаковые (если между ними нет различий).

e) Теперь представим, что две компании знают о наличии 10-процентной вероятности того, что одна из них может обанкротиться на протяжении любого года. Если банкротство действительно произойдет, повторяющаяся игра между компаниями закончится. Изменит ли знание этого факта действия компаний при r = 0, 25? Что если вероятность банкротства повысится до 35 %?

S3. Каждое из двух подразделений компании возглавляет свой менеджер. Вознаграждение менеджеров зависит от количества усилий, которые они вкладывают в повышение производительности. Схема оплаты основана на сравнении результатов работы двух подразделений. Если оба менеджера выбирают высокий уровень усилий, каждый из них зарабатывает 150 000 долларов в год. Если оба предпочитают низкий уровень усилий, каждый получает «всего» 100 000 долларов в год. Однако если один из них выбирает высокий уровень усилий, а другой демонстрирует низкий, тогда первому заплатят 150 000 долларов плюс бонус 50 000 долларов, а второму — только урезанную заработную плату (за более низкую производительность по сравнению с конкурентом) в размере 80 000 долларов. Менеджеры принимают решения об уровне усилий независимо друг от друга, не зная о выборе соперника.

a) Постройте таблицу выигрышей для игры, в которой усилия, вкладываемые менеджерами в свою работу, не влекут за собой никаких издержек. Найдите в этой игре равновесие Нэша и объясните, можно ли ее назвать дилеммой заключенных.

b) Теперь предположим, что высокий уровень усилий требует от менеджеров определенных издержек (например, в связи с подачей дорогостоящего сигнала о качестве работы). В частности, представим, что он сопряжен с издержками в размере 60 000 долларов в год, которые несет менеджер, выбравший этот уровень. Составьте таблицу для новой версии игры и найдите равновесие Нэша. Объясните, будет ли эта игра дилеммой заключенных и чем она отличается от игры в пункте а.

c) Если издержки в связи с выбором высокого уровня усилий составляют 80 000 долларов в год, чем будет отличаться такая игра от игры в пункте b? Каким будет новое равновесие? Объясните, будет ли эта игра дилеммой заключенных и чем она отличается от игр в пунктах а и b.

S4. Вам необходимо решить, стоит ли инвестировать 100 долларов в предприятие друга, где через год эта сумма вырастет до 130 долларов. Вы с другом договорились, что он вернет вам 120 долларов, оставив 10 долларов себе. Но не исключено, что ваш друг может сбежать со всей суммой (130 долларов). Деньги, которые вы не инвестируете в предприятие друга, можно безопасно вложить куда-то еще под действующую ставку процента r и получить 100(1 + r) долларов в следующем году.

a) Постройте дерево игры для такой ситуации и покажите равновесие обратных рассуждений.

Теперь допустим, что игра повторяется бесконечное количество раз. То есть каждый год у вас есть возможность вложить еще 100 долларов в предприятие друга, и вы делите затем полученные 130 долларов по оговоренной выше схеме. Начиная со второго года вам предстоит принимать решение о целесообразности дальнейших инвестиций в предприятие друга, исходя из того, вернул он вам деньги за предыдущий год или нет. Процентная ставка между любыми двумя периодами подряд равна r — столько же, сколько и рыночная процентная ставка, и одинакова для вас и вашего друга.

b) При каких значениях r возможен равновесный исход в повторяющейся игре, в которой на протяжении каждого периода вы вкладываете деньги в предприятие друга и он выплачивает вам деньги в соответствии с договоренностью?

c) Если процентная ставка составляет 10 % в год, существует ли альтернативная договоренность о разделении прибыли, представляющая собой равновесный исход бесконечно повторяющейся игры, в которой в каждом периоде вы инвестируете средства в предприятие друга и он выплачивает вам деньги в соответствии с договоренностью?

S5. Вернитесь к примеру из упражнения S3, в котором заработная плата менеджеров двух подразделений компании зависит от выбора ими высокого или низкого уровня усилий, которые они вкладывают в работу. В пункте b этого упражнения сказано, что издержки в связи с выбором высокого уровня усилий составляют 60 000 долларов. Теперь допустим, что оба менеджера многократно ведут игру, представленную в пункте b упражнения S3, на протяжении многих лет. Такое повторение делает возможным особый тип сотрудничества, при котором один из менеджеров выбирает высокий уровень усилий, тогда как другой — низкий. При этом оба заключают соглашение о сотрудничестве, в соответствии с которым менеджер, выбирающий высокий уровень усилий, выплачивает второму менеджеру дополнительные суммы с тем, чтобы оба получили одинаковые выигрыши.

a) Какой размер дополнительного платежа гарантирует, что окончательные выигрыши двух менеджеров будут одинаковыми? Сколько каждый менеджер заработает за тот год, в течение которого будет действовать соглашение о сотрудничестве?

b) Сотрудничество в этой повторяющейся игре подразумевает выбор каждым менеджером предписанного уровня усилий и соответствующие дополнительные платежи менеджера с высоким уровнем менеджеру с низким. При каких значениях процентной ставки такое соглашение может поддерживать между ними сотрудничество в повторяющейся игре?

S6. Рассмотрим игру в труса, о которой шла речь в главе 4, с несколько более общими выигрышами (на рис. 4.13 k = 1).

Предположим, это повторяющаяся игра, которая проводится каждую субботу вечером. Если k < 1, двум игрокам выгодно постоянно взаимодействовать, выбирая стратегии «свернуть» / «свернуть», тогда как при k > 1 им выгодно сотрудничать в случае, если один их них применит стратегию «свернуть», а другой — «ехать прямо», каждую неделю по очереди выбирая стратегию «ехать прямо». Может ли любой из этих двух типов сотрудничества быть устойчивым?

S7. Вспомните игру из упражнения S8 в главе 5, где Южная Корея и Япония конкурируют на рынке производства танкеров класса VLCC. Как и в пунктах а и b этого упражнения, стоимость строительства судов составляет 30 миллионов долларов в каждой стране, а спрос на танкеры равен P = 180 — Q, где Q = q_Корея + q_Япония.

a) Ранее мы нашли равновесие Нэша в этой игре. Теперь найдите исход, основанный на сговоре. Какое общее количество танкеров должны производить обе страны, чтобы максимизировать свою прибыль?

b) Предположим, две страны выпускают одинаковое количество танкеров класса VLCC, а значит, имеют равную долю в прибыли, полученной в случае сговора. Какую прибыль получит каждая страна? Сравните ее с прибылью, которую бы они имели в случае равновесия Нэша.

c) Теперь давайте допустим, что две страны поддерживают повторяющееся взаимодействие. Один раз в год они определяют объем производства, и каждая страна располагает информацией о том, сколько танкеров выпустил конкурент за прошлый год. Обе страны хотят сотрудничать ради получения прибыли, вычисленной в пункте b. На протяжении любого отдельно взятого года каждая из стран может нарушить условия соглашения. Если одна из них сохранит количество выпущенных танкеров на оговоренном уровне, какое количество танкеров лучше всего построить другой стране? Какую прибыль в итоге получат они обе?

d) Составьте матрицу выигрышей этой игры, представив ее в виде дилеммы заключенных.

e) При каких значениях процентной ставки возможно поддержание сговора в случае, если две страны используют стратегию бесповоротного наказания, которая сводится к отказу от сотрудничества навсегда?