4. Решение задачи об испытаниях до первого успеха

Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через p вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны (q = 1 ? p):

Сумма вероятностей равна

p + pq + pq? + ... = p(1 + q + q? + ...) = p/(1 ? q) = p/p = 1.

 Среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно

m = p + 2pq + 3pq? + 4pq? + ...

Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов

qm = pq + 2pq? + 3pq? + ...

Вычитая второе выражение из первого, находим

m ? qm = p + pq + pq? + ...

или

m(1 ? q) = 1,    mp = 1,    m = 1/p.

В нашем примере p = 1/6, так что m = 6.

Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно 1 + m, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому

n = p·1 + q(1 + m) = 1 + qm     и     m = 1/p.