42. Решение задачи о коротком куске стержня

(а). Случайность разлома стержня означает равномерную распределенность точки деления. Таким образом, вероятность того, что точка разлома находится в левой или правой половине стержня, одинакова. Если эта точка находится в левой половине, то левый кусок и является меньшим, его средняя длина равна половине от этой половины, что составляет четвертую часть длины стержня. Подобные рассуждения применимы и тогда, когда точка деления — на правой половине, так что ответ таков: одна четверть длины стержня.

(б). Можно считать, что точка перелома лежит в правой половине стержня. Тогда (1 ? x)/x является отношением короткого куска к длинному при условии, что сам стержень имеет единичную длину. Так как величина x равномерно распределена на отрезке [1/2, 1], то среднее отношение равно, вместо интуитивно ожидаемого ответа 1/3,