31. Решение задачи о парных днях рождения

В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.

Решим несколько более общую задачу. Пусть N обозначает число равновероятных дней, r — число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.

Для первого человека имеется N возможных дней, для второго — (N ? 1), не совпадающих с днем рождения первого, для третьего — (N ? 2), отличных от дней рождения первых двух и т. д., для r-го человека существует N ? r + 1 возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно

N·(N ? 1)·...·(N ? r + 1)          (r сомножителей).          (1)

Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно N возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения r людей равно

N^r.          (2)

Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2). Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна

P_r = 1 ? N·(N ? 1)·...·(N ? r + 1)/N^r.          (3)

Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях N таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде N! / (N ? 2)!·N^r. Имеем

Небольшая работа с таблицами показывает, что при r = 23 вероятность по крайней мере одного совпадения дня рождений равна 0.5073, а при r = 22 эта вероятность равна 0.4757. Таким образом, r = 23 — наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало?, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:

Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений R:

Во-вторых, вспомним, что

Если x достаточно мало?, то члены порядка, большего, чем x, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и e^?x приближенно равно 1 ? x, или 1 ? x можно при малых x заменить на e^?x. Заметим, что

является произведением множителей вида (N ? k)/N, где k много меньше N. Эти множители могут быть записаны в виде 1 ? k/N, где 0 ? k ? r. Поэтому

Для исследования этой асимптотической формулы положим r = 23 и получим что-то около 0.500 вместо 0.507, или, положив r·(r ? 1)/2·365 равным ?lg(0.5) ? 0.693, найдем отсюда r.

В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря). Решение такой задачи предоставляется читателю.