22. Решение задачи о выборах

При a = 3 и b = 2 всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:

 АААВВ     *ААВВА     *АВВАА

*АВАВА     *ВАВАА     *ВААВА

*ВВААА      ААВАВ     *АВААВ

*ВАААВ,

где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна 8/10.

Перейдем теперь к общей ситуации произвольных a и b. Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны 2n бюллетеней, n ? b. Каждой последовательности, в которой A лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует B. Так, при n = 4 последовательности

ААВАВАВВ

с лидером A отвечает последовательность

ВВАВАВАА

в которой лидирует B. Эта последовательность получается из первой заменой A на B и B на A.

Итак, число последовательностей, в которых A лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером B. Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует B.

Так как за A подано большее количество голосов, то рано или поздно A становится лидером. Если первый бюллетень подан за B, то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с B, лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за B. Вероятность того, что это так, равна b/(a + b). Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале A, и, таким образом, вероятность ничейного положения равна

где r = a/b. Заметим, что если a много больше, чем b, т. е. когда r велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно). Формула верна также и при b = a, так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.