36. Решение задачи о разорении игрока

Наша задача — специальный случай общей задачи о случайном блуждании с двумя поглощающими барьерами. Исторически эта проблема была поставлена как игровая, называемая задачей о разорении игрока, и многие знаменитые математики занимались вопросами, связанными с ней. Сформулируем задачу в общем виде.

Игрок M имеет m денежных единиц, игрок N — n единиц. После каждой игры один игрок выигрывает, другой проигрывает единицу. В каждой партии вероятность выигрыша игрока M равна p, а выигрыша N равна q = 1 ? p. Игра продолжается до разорения одного из игроков. На рис. 36.1 указана сумма денег, которую игрок M имеет в настоящий момент. Он начинает с положения x = m. Когда x = 0, он разорен, при x = m + n банкротом является игрок N.

Рис. 36.1. Схематическое изображение задачи о разорении игрока

При такой постановке, поскольку p > 1/2, мы можем использовать результат задачи 35. Мы уже знаем, что если игрок M играет против банка с неограниченными ресурсами, то становится банкротом с вероятностью (q/p)^m. По пути к банкротству он либо получает сумму m + n (n теперь конечно) либо никогда не будет иметь ее на руках. Пусть вероятность того, что он проиграет игроку N, равна Q (это событие равносильно выигрышу N у банка с неограниченным капиталом без достижения игроком M суммы m + n). Тогда

(p/q)^m = Q + (1 ? Q)·(q/p)^m+n, (1)

поскольку Q есть доля последовательностей, для которых поглощение произойдет до достижения точки m + n, а 1 ? Q — доля тех последовательностей, которые достигают положения m + n; (q/p)^m+n есть доля последовательностей, поглощаемых в нуле, если игра продолжается неограниченно долго. Тогда P = 1 ? Q есть вероятность того, что игрок M выиграет. Из (1) находим

P = [1 ? (q/p)^m] / [1 ? (q/p)^m+n]. (2)

В нашем случае p = 2/3, q = 1/3, m = 1, n = 2 и P = 4/7, и, значит, лучше быть вдвое более искусным в игре, чем вдвое более богатым.

Если q = p = 1/2, то P в уравнении (2) принимает неопределенную форму 0/0. Применение правила Лопиталя дает

P = m / (m + n). (3)

Таким образом, если игроки равноискусны, то шансы на выигрыш игрока M равны 1/3, а его средний выигрыш равен 1/3·2 + 2/3·(-1) = 0. Игра в этом случае безобидна, т. е. математическое ожидание выигрыша равно нулю для каждого игрока.