14. Решение задачи о выборе купонов

Из первой коробки мы достаем один купон. Далее, вероятность получить новый номер из второй коробки равна 4/5. Используя ответ задачи 4, видим, что приобретение нового номера потребует в среднем (4/5)^?1 = 5/4 коробок. Третий номер потребует (3/5)^?1 = 5/3, четвертый 5/2, пятый — 5 коробок.

Таким образом, среднее число коробок равно

Формула Эйлера для сумм гармонического ряда

Хотя в данном случае указанные дроби сложить, но когда в комплекте большое число купонов, удобно применить формулу Эйлера для частичных сумм гармонического ряда:

(Число C = 0.57721... называется постоянной Эйлера.) В случае комплекта из n купонов среднее число коробок приближенно равно

n·log n + 0.577n + ?.

Поскольку log 5 ? 1.6094, формула Эйлера при n = 5 дает 11.43, что весьма близко к 11.42. Членом 1/2n в формуле Эйлера часто пренебрегают.