50. Решение задачи о квадратных уравнениях со случайными коэффициентами

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b, c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B (рис. 22). Решим задачу при фиксированном B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

Рис. 22. Серая область отвечает случаю вещественных корней.

Для того чтобы уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы

b? ? c ? 0.

На приведенном рисунке изображена парабола b? = c и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна 4/3?B^3/2 (при B ? 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B?. Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/3??B. При B = 4 ответ равен 1/6. С ростом B 1/?B стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Следует заметить, что эта задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением ax? + 2bx + c = 0. Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.