19. Решение задачи Сэмуэля Пепайса

Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, № 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи — единственная работа Ньютона по теории вероятностей.

Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей — трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.

Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна . Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 18 мы нашли, что это число равно . Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна

Аналогично, вероятность появления ровно x шестерок при бросании шести костей равна

         x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вообще вероятность появления x шестерок при n бросаниях равна

         x = 0, 1, 2, 3, ..., n.

Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.

Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна

При бросании 6n костей вероятность появления не менее n шестерок равняется

Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц (см., например, Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас, Вероятность, стр. 325 и 398). Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в 6n бросаниях.

Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с бо?льшим числом бросаний.

Биномиальное распределение рассматривается в уже цитированной книге «Вероятность», гл. VI.