27. Решение задачи об осторожном фальшивомонетчике

(а) 

(б). Пусть имеется n ящиков, каждый из которых содержит n монет. Тогда вероятность того, что извлеченная наудачу монета доброкачественна, равна 1 ? 1/n, и так как всего имеется n ящиков, то

Вычислим эту вероятность для некоторых значений n.

Бросаются в глаза следующие два обстоятельства. Во-первых, выписанные в таблице числа с ростом n возрастают. Во-вторых, они стремятся к некоторому значению, которое известно математикам и равно e^?1 или 1/e, где e = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона для , получим следующее выражение:

или

          (1)

Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к ?1/3!, так как

          (2)

При n, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к

Таким образом, с ростом r выражение стремится к сумме ряда

который является одним из способов вычисления e^?1.

Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная , сходилась бы при больших n к e^?2 и, точно так же, стремится к e^?m. Вообще стремится к e^m при любом (целом или нет) значении m. Эти факты будут использованы в дальнейшем. Более строгое их обоснование можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению.