18. Решение задачи о равновесии при бросании монет

Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна (1/2)¹⁰⁰ в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна (1/2)¹⁰⁰. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем

Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна

Используя таблицы, получаем 0.07959 ? 0,08.

Формула Стирлинга

Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга

где e — основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна 100/(12n) %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия

Так как 1/?2? ? 0.4, то наша приближенная формула дает 0.08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0.0798 вместо 0.0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.