ПУАНКАРЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА

Сегодняшнее возрождение интереса к Пуанкаре может послужить оправданием для приведения здесь одной технической подробности, не имеющей непосредственного отношения к настоящему эссе.

Речь идет о конструкции, известной физикам под названием канонического распределения Гиббса, а статистикам – под названием распределения экспоненциального типа. В [476] Пуанкаре стремится найти такие распределения вероятностей, чтобы максимальная оценка параметра правдоподобия p, вычисляемого на основании M выборочных значений x₁,...,x_m,...,x_M, имела бы вид

. Иными словами, должна существовать возможность изменять масштаб значений x и p в таких распределениях с помощью функций F(x) и G^?1(p) так, чтобы максимальная оценка правдоподобия p была бы равна выборочному среднему переменной x . Это, конечно же, происходит в том случае, когда параметр p является математическим ожиданием гауссовой переменной, однако Пуанкаре дает более общее решение, называемое сейчас распределением Гиббса.

Этот факт был заново и независимо обнаружен Сцилардом в 1925 г. Затем, около 1935 г., Купман, Питман и Дармуа задались тем же вопросом относительно наиболее общей процедуры оценивания при отсутствии ограничений на максимальное значение оценки правдоподобия. Это свойство распределения Гиббса, называемое статистиками достаточностью, играет центральную роль в аксиоматическом представлении статистической термодинамики Сциларда – Гиббса (см. [339, 344]). При таком подходе свойственная статистическим выводам произвольность присутствует в определении температуры замкнутой системы, но отсутствует в выведении канонического распределения. (Более позднее аксиоматическое представление, основанное на «Правиле максимальной информации», объявляет само каноническое распределение статистическим выводом, что, на мой взгляд, искажает его смысл.)