2. САМОАФФИННОСТЬ

Аффинное преобразование в евклидовом E - мерном пространстве определяется совокупностью положительных вещественных коэффициентов r=(r₁,...,r_?,...,r_E). При этом преобразовании каждая точка x=(x₁,...,x_?,...,x_E) переходит в точку

r(x)=r(x₁,...,x_?,...,x_E)=(x₁r₁,...,x_?r_?,...,x_Er_E)

а множество S, как следствие, переходит в множество r(S).

Ограниченные множества. Ограниченное множество S самоаффинно (относительно вектора коэффициентов r и целого числа N), если S представляет собой объединение N непересекающихся подмножеств, каждое из которых конгруэнтно множеству r(S).

Неограниченные множества. Неограниченное множество S самоаффинно относительно вектора коэффициентов r, если множество r(S) конгруэнтно множеству S.

Вышеприведенное определение часто применяется при следующих условиях: а) множество S представляет собой график функции X(t) из скалярного времени t в (E?1) - мерный евклидов вектор; б) r₁=...r_?=...r_E?1=r; в) r_E?r. В этом случае прямое определение выглядит следующим образом: вектор – функция X(t) от времени самоаффинна (относительно показателя ? и фокального времени t₀), если существует некоторый показатель lnr_E/lnr=?>0 - такой, что при любом h>0 функция h^??X[h(t?t₀)] независима от h.

Полуустойчивость по Ламперти. Случайные неограниченные самоаффинные множества в работах Ламперти [283, 285] полуустойчивыми.

Аллометрия . В главе 17 мы отмечали, что при изменении высоты дерева (имеется в виду дерево растительного происхождения) в r раз диаметр его ствола изменяется в r^3/2 раз. Скажем больше: представляющие точки, координаты которых и определяют различные линейные меры деревьев, аффинны друг другу. Биологи называют такие фигуры аллометрическими.