Глава 19 Последовательности и прогрессии

19.1. Сравним n?й и (n + 1)?й члены последовательности (здесь V — знак сравнения):

или после упрощений:

Так как

(^{n + 1}/_n)ⁿ = (1 + ¹/_n)ⁿ = 1 + n · ¹/_n + ...,

где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то

(^{n + 1}/_n)ⁿ > 2 при n > 1.

Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.

19.2. Так как а_p, а_q, а_r и а_s — члены арифметической прогрессии, то

a_q ? a_р = d(q ? p), a_r ? a_q = d(r ? q), a_s ? a_r = d(s ? r).

Кроме того, a_рa_r = a_q?, a_qa_s = a_r?, a_pa_s = a_qa_r, что отражает условие, в силу которого a_р, a_q, a_r и a_s образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем

Составим произведение (p ? q)(r ? s) и воспользуемся второй группой формул:

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

19.3. По условию

a = a₁ + d(m ? 1) = u₁q^{m ? 1}, b = a₁ + d(n ? 1) = u₁q^{n ? 1}, c = a₁ + d(p ? 1) = u₁q^{p ? 1}.

Составим разности:

b ? с = d(n ? p), с ? а = d(p ? m), а ? b = d(m ? n).

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.

19.4. Перейдем в левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^b/_a = ^c/_b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а₁ ? a₃)? = 0, а₁ = а₃. Поскольку , то а₂ = а₁. Таким образом, а₁ = а₂ = а₃. Решим теперь систему уравнений

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = ?2 log₂ y = ? log₂ 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x₁(1 + q) = 3, x₁q?(1 + q) = 12, x₁?q = A, x₁?q⁵ = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q? = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x₁ = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ. А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x₂ = x₁q, x₃ = x₁q?. Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x₁ + x₁q + x₁q? = 7,    x₁?q + x₁?q? + x₁?q? = 14.

Из первого уравнения получим x₁(1 + q + q?) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x₁?q(1 + q + q?) = 7x₁q,

откуда x₁ = ²/_q. Подставим выражение для x₁ в первое уравнение, получим

^{2(1 + q + q?)}/_q = 7,  т. е.  2q? ? 5q + 2 = 0,

откуда

q₁ = ?, q₂ = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x₁. При q = 1 получим, что x₁ = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x₁ = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. ?2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = ?3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = ?6, а = 12, что невозможно.

Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = ?1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ. 630; 135; 765.

19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:

100xq? + 10xq  + x ? 594 = 100x + 10xq + xq?, (x + 1) + (xq? + 1) = 2(xq + 2).

Первое уравнение можно переписать в виде

x(q? ? 1) = 6,

а второе — в виде

x(q? ? 2q + 1) = 2,   т. е. x(q ? 1)? = 2.

Деля первое уравнение на второе, получим

^{q + 1}/_{q ? 1} = 3,   q = 2.

Следовательно, x = 2.

Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 ? 594 ? 139 и 964 ? 594 ? 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq? + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.

Ответ. 842.

19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна ¹/_x, то

²⁴/_x n = 1,   т. е. 24n = x.

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п¹/_xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n ? 1 ч, второй n ? 2, а (n ? 1)?й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

^{n ? 1}/_x + ^{n ? 2}/_x + ... + ¹/_x + n¹/_xy = 1,

или

^{n ? 1}/₂n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 ? ^{n ? 1}/₂.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y ? 7)(n ? 5)¹/_x = 1.

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 ? ^{n ? 1}/₂)(n ? 5) = 242n,

т. е. n? ? 18n ? 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n₁ = 25, n₂ = ?7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a, aq и aq? лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq? p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq? + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

aq? + 3 = 2(a + 3).  (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq? ? (x + 105) ? (xq + 15) = xq? ? 120.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq? ? 120,

т. е.

x(q? ? 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q? ? 2) = 3.   (1?)

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq ? 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1?):

Из первого уравнения а = ⁶/_{5q ? 7}. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q? ? 15q + 9 = 0,

откуда q₁ = ³/₂ , q₂ = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть а, b, с и а?, b?, с?. Другими словами, 2b = а + с и b⁴ = а?с?. Если первое уравнение возвести в квадрат

4b? = а? + 2aс + с?,

а второе записать в виде b? = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а? + 2aс + с? = 4|ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а? ? 2aс + с? = 0,    т. е.    (а ? с)? = 0,

откуда а = с. Следовательно, а? = с? и знаменатель прогрессии а?, b?, с? равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а? + 6ас + с? = 0.

Разделим на а? (по условию а ? 0) и решим уравнение

(^c/_a)? + 6^c/_a + 1 = о

относительно ^c/_a:

^c/_a = ?3 ± ?8.

Так как ^c?/_a? = q?, то

q? = (?3 ± ?8)?.

Числа а?, b? и с?, образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения

q_2,3 = 3 + ?8.

Ответ. 3 ? ?8; 1; ?3 + ?8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как  то предел последовательности равен a + ?(b ? a) = ^{a + 2b}/₃.

Ответ. ^{a + 2b}/₃.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a ? 3)x + (14a + 5)x = 2k?, (14a + 5)x ? (8a ? 3)x = 2n?,

или

(11a + 1)x = k?, (3a + 4)x = n?.

Так как по условию a > 0, то 11a + 1 ? 0 и 3a + 4 ? 0. Поэтому

x_k = ^k?/_{11a + 1}, x_n = ^n?/_{3a + 4}.

Значения x_k и x_n при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x ? 0) образуют две прогрессии с разностями

d₁ = ^?/_{11a + 1}, d₂ = ^?/_{3a + 4}

и первыми членами, равными нулю. Числа x_k и x_n, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d₂ = d₁m при d₁ ? d₂, либо d₁ = d₂m при d₂ ? d₁ (m — натуральное число). Пусть, например, d₁ ? d₂. Тогда d₁ — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d₁ — разность этой прогрессии. Однако число d₂, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d₂ = 0 + d₁m = d₁m. Обратно, если d₂ = d₁m и d₁ ? d₂, то x_n = d₂n = d₁mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d₂ ? d₁.

Итак, для d₁ ? d₂ имеем

Так как m — натуральное, то 4m ? 1 > 0. В свою очередь а > 0, а потому 11 ? 3m > 0 и m < ¹¹/₃. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Для d₂ ? d₁ получим

При натуральном m разность 11m ? 3 положительна, а так как а > 0, то 4 ? m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = ³/₈, ²/₁₉, ¹/₃₀.

Ответ. ¹/₃₀, ²/₁₉, ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.