Глава 16 Трансцендентные уравнения

16.1. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим немедленно следует, что правая часть данного уравнения не меньше двух. Однако его левая часть не может стать больше двух. Поэтому остается лишь одна возможность:

Последнее равенство достигается лишь при x? = 1, т. е. при x = ±1. Подставляя эти значения в левую часть первого уравнения, получим

2 sin? ? sin? ¹/₆ < 2.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.

16.2. Так как ¹/_{cos? x} = tg? x + 1, то уравнение можно переписать в виде

2^{2 tg? x} + 2 · 2^{tg? x} ? 80 = 0,

откуда

2^{tg? x} = 8, tg? x = 3, tg x = ±?3, x = n? ±^?/₃

(второе уравнение 2^{tg? x} = ?10 не имеет решений).

Ответ. n? ±^?/₃.

16.3. Так как в условие одновременно входят tg x и etg x, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством ctg x = ¹/_{tg x}, не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение

(tg x)^{sin x} = (tg x)^{?cos x}.

Если tg x < 0, то sin x и cos x ? дробные числа, и обе части равенства теряют смысл. При tg x = 0 и sin x обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.

Если tg x > 0, но ? 1, то sin x = ?cos x, откуда tg x < 0, что противоречит сделанному предположению. Остается tg x = 1, x = (4k + 1)^?/₄.

Ответ. (4k + 1)^?/₄.

16.4. Данное уравнение можно записать так:

sin (2^x + 2^{x ? 1}) = ?,

откуда

2^x + 2^{x ? 1} = n? + (?1)^n ?/₆, или 2^x = ^2n?/₃ + (?1)^{n ?}/₉.

Какое бы положительное число ни стояло в правой части, уравнение будет иметь решение.

Неравенство

^2n?/₃ + (?1)^{n ?}/₉ > 0

выполняется при n ? 0.

Ответ. log₂ [^2n?/₃ + (?1)^{n ?}/₉], где n ? 0. 

16.5. Уравнение можно переписать так:

lg sin x + lg sin 5х + lg cos 4x = 0,

или в виде системы

Из первого уравнения следует, что |sin x| = 1, |sin 5х| = 1, |cos 4x| = 1 одновременно. С учетом ограничений придем к системе

Из первого уравнения x = ^?/₂ + 2?n. Подставляем во второе и третье уравнения:

sin [5(^?/₂ + 2?n)] = sin ^?/₂ = 1, cos [4(^?/₂ + 2?n)] = cos 0 = 1.

Ответ. ^?/₂ + 2?n.

16.6. Обозначив lg (sin x + 4) = y, получим уравнение

y? + 2y ? ⁵/₄ = 0,

y которого два корня: y₁ = ?⁵/₂, y₂ = ?.

Для первого корня получим

lg (sin x + 4) = ?⁵/₂,

откуда

Так как  то соответствующих значений x нет.

Для второго корня получим

lg (sin x + 4) = ?,

откуда

Так как  то можем найти x.

Ответ.

16.7. Данное уравнение эквивалентно системе

Уравнение можно преобразовать, если сгруппировать sin x и sin? x:

sin x (1 ? sin? x) ? ? cos x = 0, или sin x cos? x ? ? cos x = 0.

Так как sin x > 0, то cos? x < 1, и любое решение уравнения

sin x cos? x ? ? cos x = 0

удовлетворяет неравенству

sin x ? ? cos x > 0.

Запишем уравнение в виде

cos x(sin 2x ? ?) = 0.

Так как sin x ? 1 и sin x > 0, то cos x ? 0. Остается

sin 2x = ?,

откуда

x₁ = ?n + ^?/₁₂, x₂ = (2n + 1)^?/₂ ? ^?/₁₂.

Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному: sin x > 0. Чтобы добиться этого, нужно для x₁ и x₂ взять n = 2k.

Ответ. 2?k + ^?/₁₂; 2?k + ^5?/₁₂.

16.8. Данное уравнение равносильно системе

Условие sin x > 0 содержится в уравнении, так как справа стоит всегда неотрицательное число, а если cos x = 0, то sin x ? 0.

Рассмотрим следствие исходного уравнения

sin x = ±?8 cos x,

а в конце проверим выполнение условий: sin x > 0 и cos? x ? ¹/₈. Получим

tg x = ±?8, x = n? + arctg ?8.

Если tg x = ±?8, то tg? x + 1 = 9 и cos? x = ¹/₉ ? ¹/₈. Чтобы проверить выполнение условия sin x > 0, рассмотрим два случая.

Если n = 2k, то x = 2k? ± arctg ?8. Это — углы, лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin x > 0 выполняется лишь для тех из них, которые лежат в первой четверти: x₁ = 2k? + arctg ?8.

Если n = 2k + 1, то x = 2k? + ? ± arctg ?8. Здесь нужно выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем угол, лежащий во второй четверти.

Ответ. 2k? + arctg ?8; (2k + 1)? ? arctg ?8.

16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:

(?)^x = ^{4k + 1}/₂₀.

Так как x > 0, то (?)^x заключено между нулем и единицей. Следовательно, 0 < ^{4k + 1}/₂₀ < 1, откуда 0 ? k ? 4.

Для каждого из этих k находим соответствующее значение x.

Ответ. log₂ ²⁰/_{4k + 1}, где k = 0, 1, 2, 3, 4.

16.10. Решаем квадратное уравнение

Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если ?1 ? ?5 ? m ? ?1 + ?5.

Делаем следующий шаг:

Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа положительное выражение не превзойдет единицы, а потому может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс, нужно, чтобы

После возведения в квадрат, учитывая полученные вначале ограничения для m, придем к системе

y которой два интервала решений:

?1 ? ?5 ? m ? ?3,    1 ? m ? ?1 + ?5.

Ответ. При ?1 ? ?5 ? m ? ?1 + ?5, x = 2n? ± arccos A,

при ?1 ? ?5 ? m ? ?3 и 1 ? m ? ?1 + ?5, x = 2n? ± arccos B, где

16.11. Решаем квадратное уравнение относительно lg sin x:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2 а? ? 2 ? 0, т. е. а ? ?1, а ? 1.

Поскольку

то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

Когда а ? 1, нужно рассмотреть лишь неравенство

откуда (с учетом ограничения а > 1) получаем а > ?2. Если же а ? ?1, то  всегда отрицательное число, а чтобы и число  было неположительно, должно быть еще а ? ??2.

Ответ. При а ? ??2

при ??2 ? а ? ?1 и при а ? ?2

при ?1 < а < ?2 решений нет.

16.12. Данная система равносильна такой:

Решая входящие сюда два уравнения, получим

Из первого уравнения большой системы следует, что второе и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому достаточно потребовать

Аналогично убеждаемся, что условие 3x ? 4у ? 15 ? 1 выполняется при n ? ?⁴¹/₁₀, т. е. всегда, ибо n — целое.

Неравенство x + 2y > 0 справедливо при всех n > 1,5, т. е. n ? 2, а условие x + 2y ? 1 выполняется при n ? 1,9, т. е. всегда.

Ответ.

где n = 2, 3, 4, ... .

16.13. Если 4^{cos? ?x} = u, то

4^{sin? ?x} = 4^{1 ? cos? ?x} = ⁴/_u.

Следовательно, левая часть уравнения обращается в ⁴/_u + u, где u > 0. В силу неравенства, связывающего среднее арифметическое чисел u и ⁴/_u со средним геометрическим этих же чисел, имеем

⁴/_u + u ? 4.

Для оценки правой части уравнения выделим полный квадрат:

?8x? + 12|x| ? ? = ?2( 2|x| ? ³/₂)? + 4 ? 4.

Поскольку левая часть уравнения не может стать меньше 4, в то время как правая его часть не может превзойти 4, остается проверить те два значения x = ±?, при которых правая часть достигает своего наибольшего значения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = ±?  — корни данного уравнения.

Ответ. x = ±?.

16.14. Запишем уравнение в виде

или

т. е.

Так как sin ?x ? 1, а

то (1) имеет единственное возможное решение, когда обе части равенства равны 1. Правая часть равна 1 при x = 0,5. Вычислим sin ?x при x = 0,5: sin 0,5? = sin ^?/₂ = 1.

Ответ. 0,5.