Глава 13 Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = n? + (?1)ⁿ arcsin а, |а| ? 1,

cos x = а, x = 2n? ± arccos а, |а| ? 1,

tg x = а, x = n? + arctg а,

ctg x = а, x = n? + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2n? + ?rсsin а, x = ?(2n + 1) ? arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим

x = n? + (?1)ⁿ^?/₂.

При n = 2k получим x = 2k? + ^?/₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2k? + ? ? ^?/₂ = 2k? + ^?/₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = n?; sin x = 1, x = ^?/₂ + 2n?; sin x = ?1, x = ? ^?/₂ + 2n?;

cos x = 0, x = ^?/₂ + n?; cos x = 1, x = 2n?; cos x = ?1, x = (2n + 1)?;

tg x = 0, x = n?; ctg x = 0, x = ^?/₂ + n?.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k?, x ? у = 2l?; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)?, x ? у = 2l?. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x ? у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x ? у = ?k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^{k ? 1} x cos x + ...

... + а_{k ? 1} sin x cos^{k ? 1} x + а_k cos^k x = 0 (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При ?₀ ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ ? 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ ? 0 и а_k ? 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x ? 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^{k ? 1} + ... + а_k_{? 1}у + а_k = 0 (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x ? 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_k_{? 1}z^k^{? 1} + а_kz^k = 0 (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0. (4)

Разделив его на cos? x, получим алгебраическое уравнение

у? ? 2у? ? у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = ?1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = ?1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n? ± ^?/₄ , x = n? + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ ? 0 и a_k_{? 1} ? 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^{k ? 1} x cos x + a₂ sin^{k ? 2} x cos? x + ...

... + a_k_{? 2} sin? x cos^{k ? 2} x + a_k_{? 1} sin x cos^{k ? 1} x = 0. (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^{k ? 1} x + a₂ sin^{k ? 2} x cos x + ...

... + a_k_{? 2} sin x cos^{k ? 2} x + a_k_{? 1} cos^{k ? 1} x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^{k ? 1} x + a₂ sin^{k ? 2} x cos x + ...

... + a_k_{? 2} sin x cos^{k ? 2} x + a_k_{? 1} cos^{k ? 1} x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x ? 2 sin? x cos? x ? sin? x cos? x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ^3?/₂, у = ^?/₄ (ни при каком целом n из выражения ^?/₄ + ^3n?/₂ нельзя получить ^3?/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x ? у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = ^?/₄ + (2т + n), у = ? ^?/₄ ? ^?/₂ (2т ? n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 2?2 cos 3x sin (x + ^?/₄) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2. .

13.3. .

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x ? 3 tg 2x = tg? 2x tg 3x.

13.7. sin? x + cos? x + ¹/_?2 sin 2x sin (x + ^?/₄) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x ? 4 tg 3x ? tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2?).

13.10. Решите уравнение

sin (x ? ?) = sin x ? sin ?.

13.11. Найдите решения уравнения

|cos 2x| = |sin? x ? а|

(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 ? x ? 2?.

Решите уравнения:

13.12.

13.13. (tg x + sin x)^? + (tg x ? sin x)^? = 2 tg^? x cos x.

13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + ²/_{sin 4x}.

13.15. sec x? + cosec x? + sec x? cosec x? = 1.

13.16.

13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.

13.18. cos x = cos? ^3x/₄.

13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (^?/₄ ? x) = 2?2(1 + sin 2x + cos 2x).

13.20. sin 4x sin x ? sin 3x sin 2x = ? cos 3x + (1 + cos x)^? .

13.21. sin 4x = m tg x, где m > 0.

13.22. sin ^x/₂ (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = ? sin ^101x/₂.

13.23. sin? x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n?x = 1.

13.24. 4 cos x ? 2 cos 2x ? cos 4x = 1.

13.25.

13.26. sin? x + cos? x = 1.

13.27. cos? 3x + ? cos? x = cos 3x cos⁴ x.

13.28. При каких значениях а уравнение

1 + sin? ax = cos x

имеет единственное решение?

Решите системы:

13.29.

13.30.

13.31.

13.32.

13.33.

13.34.

13.35.

13.36.

13.37.

13.38.

13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению

tg⁴ x + tg⁴ у + 2 ctg? x ctg? у = 3 + sin? (x + у).

13.40. Решите уравнение

sin? x + ? sin? 3x = sin x sin? 3x.

13.41. Решите уравнение

cos x + cos у ? cos (x + у) = ³/₂.

13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x ? ^?/₂ + n?, у ? ^?/₂ + n?, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.