Глава 7 Алгебраические преобразования

7.1.

Ответ.

7.2. Перепишем данное выражение так:

Числитель второй дроби теперь легко разложить на множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее. Однако в первую очередь нас интересует, делится ли знаменатель на 1 + x ? x?. Проверяем с помощью деления углом (проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что

x⁴ ? x? ? 2x ? 1 = (1 + x ? x?)(?x? ? x ? 1).

Таким образом,

Ответ.

7.3. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю. Получим

где А и B — соответственно многочлены, входящие множителями в первое и во второе слагаемые.

Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После этого останется

Преобразуем третье слагаемое:

Остается вычесть его из предыдущего результата.

Ответ.  это выражение положительно при x ? 0.

7.4. Домножив дробь на  получим

Остается вычесть 2?b и данное выражение примет вид

Ответ.

7.5. Вынесем за скобки  и воспользуемся выражением x через а: 

Ответ. 0.

7.6. Преобразуем данное выражение:

Так как 1 ? x ? 2, то 0 ? x ? 1 ? 1 и, следовательно,  т. е.  Поэтому

Ответ. 2.

7.7. Так как 9 + 4?2 = (2?2 + 1)?, то

Остается преобразовать

Если догадка, что

43 + 30?2 = 25 + 2 · 5 · 3?2 + 18 = (5 + 3?2)?,

кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой сложного радикала

Ответ. 5 + 3?2.

7.8. Перепишем данное выражение в виде

(z? ? y?)(xу + zu) + (x? ? u?)(xу + zu) + (y? ? z?)(xz + уu) + (x? ? u?) ? (xz + уu) = (z? ? y?)(xу + zu ? xz ? уu) + (x? ? u?)(xу + zu + xz + уu).

Так как

xу + zu ? xz ? уu = x(y ? z) ? u(y ? z) = (y ? z)(x ? u),

xу + zu + xz + уu = (y + z)(x + u),

то получим

(z ? y)(z + y)(y ? z)(x ? u) + (x ? u)(x + u)(y + z)(x + u) = (x ? u)(y + z)[?(y ? z)? + (x + u)?].

Ответ. (x ? u)(y + z)(x + u ? y + z)(x + u + y ? z).

7.9. Обозначим

Возведем в куб. Получим

Произведение корней преобразуем так:

выражение в скобках равно z. Придем к уравнению

z? ? 5z ? 12 = 0.

Так как z = 3 — корень этого уравнения, в чем убеждаемся проверкой, то преобразуем уравнение к виду

z? ? 9z + 4z ? 12 = 0, или (z ? 3)(z? + 3z + 4) = 0.

Уравнение z? + 3z + 4 = 0 не имеет действительных корней. Следовательно, z = 3, что и требовалось доказать.

7.10. По условию а + b = ?с. Возведем в куб

а? + b? + 3аb(а + b) = ?с?

и заменим а + b на ?с. Получим

а? + b? + с? = 3аbс.

Возведем а + b + с = 0 в квадрат

а? + b? + с? = ?2(ab + ас + bc)

и еще раз возведем в квадрат

а⁴ + b⁴ + с⁴ + 2(а?b? + а?с? + b?с?) = 4[а?b? + а?с? + b?с? + 2(а?bc + b?ас + с?ab)].

Поскольку а?bc + b?ас + с?ab = аbс(а + b + с) = 0, то

а⁴ + b⁴ + с⁴ = 2(а?b? + а?с? + b?с?).

Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:

а⁵(b? + с?) + b⁵(а? + с?) + с⁵(а? + b?) = а?b?(а? + b?) + а?с?(а? + с?) + b?с?(b? + с?).

Заменим а? + b? на 3аbс ? с? и поступим аналогично с остальными скобками:

что и требовалось доказать.

7.11. Если данное равенство доказано при x ? 0 и любом y, то оно верно для всех x и y. Действительно, пусть x < 0. Тогда левую часть можно записать в виде

|?(x + y)| + |?(x ? y)| = |(?x) ? y)| + |(?x) + y|,

а правую — в виде

Поскольку ?x > 0, то равенство стоящих справа выражений будет доказано.

Итак, пусть x ? 0. Рассмотрим два случая: |y| ? x и |y| > x.

1. x ? 0, |y| ? x, т. е. ?x ? y ? x. Тогда x? ? y? ? 0 и  — неотрицательное действительное число. Кроме того  и равенство примет вид

2. x ? 0, |y| > x, т. е. y < ?x или y > x. Левая часть равенства в этом случае равна 2|y| (случаи y < ?x и y > x разберите самостоятельно). Так как |y| > x, то  следовательно,

Тем самым доказательство тождества закончено.

7.12. Так как обе части равенства неотрицательны, то можно каждую из них возвести в квадрат

Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что (^{x + y}/₂)? ? xy. Получим

x? + 2ху + y?.

Если возвести в квадрат правую часть, то получим

x? + 2|ху| + y?.

Так как по условию ху = |ху|, то равенство доказано.

7.13. Возведем выражение

a^? + b^? = ?c^?   (1)

в куб. Получим

a + b + 3a^?b^?(a^? + b^?) = ?c.  (2)

Подставим (1) в (2):

a + b ? 3a^?b^?c^? = ?c.

т. е.

a + b + c = 3a^?b^?c^?,

или

(а + b + с)? = 27аbс.

7.14. По условию

24х? + 48х + 26 = (ax + b)? ? (cx + d)?,

т. е. коэффициенты многочленов слева и справа равны. Прежде чем преобразовать правую часть, заметим, что коэффициент при x? равен нулю, т. е. а? ? с? = 0, или а = с. Тогда получим, что

(ax + b)? ? (ax + d)? = 3а?(b ? d)x? + 3а(b? ? d?)x + b? ? d?.

Следовательно,

Из (3): b ? d = ⁸/_a?. Из (4) с учетом (3): b + d = 2а.

Далее найдем:

Подставим выражения для b ? d , b + d и bd в (5):

(так как а > 0).

Соответственно, b = 3, d = 1.

Ответ. 2x + 3; 2x + 1.