K главе 12

12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)

12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:

tg 2? [tg (30° ? ?) + tg (60° ? ?)] = 1 ? tg (60° ? ?) tg (30° ? ?).

12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с ? tg ^x/₂.

12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют ? + ? и ?, то вместо sin ? удобно записать sin [(? + ?) ? ?] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)

12.5. Домножить и разделить на 2 sin ^?/₇ и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)

12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin ^?/₇. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).

12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.

12.8. В произведении sin (x + у) sin (x ? у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.

12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы ? и ?.

12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно ?, ? и ?. Левую часть данного равенства удобно выразить через sin??, sin??, sin??.

12.11. Подставить ? = ? + ^?/₃, ? = ? + ^2?/₃ и записать данное выражение через синусы и косинусы.

12.12. Так как ctg ?, ctg ? и ctg ? образуют арифметическую прогрессию, то ctg ? + ctg ? = 2 ctg ?. Если теперь вспомнить, что ? = ^?/₂ ? (? + ?), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg ? + ctg ?. (!)

12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = ?sin 16° = ?2 sin 8° cos 8°.