Глава 6 Свойства чисел. Делимость

6.1. Докажите, что р? ? 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

6.2. Докажите, что n? + 2n при любом натуральном n делится на 3.

6.3. Докажите, что число 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ делится на 49 и 181.

6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?

6.5. Делится ли число  на 81?

6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n⁴ + 4 является простым числом.

6.7. Докажите, что является целым числом при любом четном n.

6.8. При каких целых значениях x дробь  сократима?

6.9. Найдите все пятизначные числа вида  (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.

6.10. Найдите трехзначное число  (а, b, с — его цифры), если четырехзначное число  в три раза больше четырехзначного числа .

6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.

6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.

6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.

6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения

3x? ? 16xy ? 35y? + 17 = 0.

6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению

x? = 4y? + 20 025?

6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x ? 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.