K главе 14

14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то получим равносильное неравенство. (!)

14.2. Использовать тот же прием, что и при решении уравнения cos x ? sin x = ?1, т. е. ввести вспомогательный угол. (!)

14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)

Способ 2. Если синус и косинус выразить через tg ^x/₂, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно данному? (!)

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos? x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x ? 0 и cos x ? 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что  — новое неизвестное.

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести ?1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и выполнить сложение.

14.13. Это — иррациональное неравенство относительно у = cos x. Не следует забывать, что |у| ? 1. Благодаря этому решение можно упростить.

14.14. Если выразить sin x и cos x через tg ^x/₂ , то получим алгебраическое неравенство, которое решается методом интервалов. (!)

14.15. Выразить все тригонометрические функции через sin ?.

14.16. Так как sin? x ? 0, то, заметив, что x = ?k — решения неравенства, можно изолировать параметр а?, разделив обе части неравенства на sin? x.

14.17. Если обозначить cos t = z, то данное выражение запишется в виде квадратного трехчлена относительно z, который должен быть положительным при всех ?1 ? z ? 1. Найдите абсциссу вершины соответствующей ему параболы.