K главе 19

19.1. Записать выражения для и_n и и_{n + 1} и сравнить.

19.2. Поскольку первый член арифметической прогрессии входит в качестве слагаемого в выражения для любого ее члена, удобнее сразу записать a_q ? а_р, a_r ? a_q, a_s ? а_z. Это тем более удобно, что нас интересуют разности p ? q, q ? r, r ? s.

19.3. Если ввести а₁ и u₁ — соответственно первые члены арифметической прогрессии с разностью d и геометрической прогрессии со знаменателем q, то а, b и с придется выразить через а₁, u₁, d и q.

19.4. В левой части удобно перейти к общему основанию x.

19.5. Если бы сумма состояла из одних девяток, то каждый член можно было бы представить в виде 10^k ? 1.

19.6. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, умножить и разделить на 9. Число, состоящее из k девяток, равно 10^k ? 1.

19.7. Условия задачи можно записать в виде а₁ + а₃ = 2а₂, а₁а₃ = а₂? . Из этой системы нетрудно исключить а₂.

19.8. Удобно ввести знаменатель прогрессии q и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это позволит определить q и x₁. (!)

19.9. Так как корни уравнения образуют геометрическую прогрессию, то x₂ = x₁q, x₃ = x₁q?. Воспользуйтесь теоремой Виета для уравнения третьей степени.

19.10. Если приравнять выражения для удвоенной суммы n членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение относительно qⁿ.

19.11. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться либо нулем, либо пятью. Рассмотреть эти два случая.

19.12. Если обозначить через x цифру единиц, а через q — знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих условия задачи. Однако можно пойти по другому пути: поскольку цифры числа образуют геометрическую прогрессию и само число больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности: 931, 842 и 964. (!)

19.13. Всю работу следует принять за единицу. Чтобы использовать условия задачи, нужно знать производительность одного комбайна. Однако нам неизвестно, сколько часов перед завершением работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту величину обозначим через y, а через x обозначим количество часов, необходимых одному комбайну, чтобы убрать весь урожай. Тогда производительность комбайна будет равна ¹/_x.

19.14. Пусть братьям а, аq и аq? лет. Если младший получит x рублей, то остальные два получат xq и xq? рублей. Условия задачи позволяют составить три уравнения.

19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче, будут обозначены буквами а, b и с и условия задачи будут переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?

19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что позволит доказать формулы для а_n и b_n.

19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?