K главе 21

21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.

21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.

21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 8⁴ вариантов.

21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l₁, l₂ и l₃, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.

21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.

21.6. В записи k-го члена суммы произвести сокращение на k.

21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство

выполняется при некотором k.

21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n-ю степень по правилам возведения в степень двучлена.

21.9. Коэффициент при x^k будет равен числу членов, содержащих x^k при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие x^k, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x? + ... + x^{k ? 1} + x^k (0 ? k ? n ? 1), от случая, когда n ? 1 < k ? 2(n ?1).

21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.

21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.

21.12. Если обозначить через Р_n число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Р_n.

21.13. Если на плоскости проведены m параллельных прямых, то они разбивают плоскость на m + 1 частей. Когда мы пересечем их некоторой прямой, то каждая часть разобьется на две. Что произойдет, если к уже проведенным k непараллельным прямым добавить еще одну?