Из одного яблока — два.

Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эстраде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек, потом опустил туда шарик, а вынул... два; опустив два шарика, он вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится, ловкость рук. Но в теории множеств такие чудеса бывают.

Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как, съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек целый апельсин).

Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно составить целый шар того же радиуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему шара.

Разумеется, это утверждение имеет чисто теоретическое значение, и надеяться сделать с его помощью из одного яблока два, а потом из двух — четыре и т. д. было бы по меньшей мере наивно. Ведь это противоречило бы закону сохранения материи. Но математика изучает не непосредственно материальный мир, а лишь его математические модели. Поэтому если получаются результаты, противоречащие физической интуиции, то ответственность за это несет не математическая наука, а неудачный выбор модели.

Поэтому наш странный результат, как и некоторые другие парадоксальные выводы из аксиомы выбора, показывает лишь, что к ней надо относиться с известной осторожностью. Некоторые математики стараются четко отделять утверждения, при выводе которых была использована эта аксиома, от остальных. Но, как это ни печально, некоторые фундаментальные утверждения математического анализа нельзя доказать без ссылки на эту злополучную аксиому.