Множества и свойства объектов.

Ни бесконечные множества, ни конечные множества, содержащие очень много элементов, невозможно задать с помощью списков. Чтобы определить такое множество, прибегают к указанию свойства, присущего всем его элементам, но не присущего ни одному элементу, не принадлежащему определяемому множеству. Это свойство элементов множества называется для него характеристическим.

Например, для множества простых чисел характеристическим является то, что все его элементы — натуральные числа, имеющие ровно два делителя. Пользуясь этим свойством, можно сразу сказать, что ни число 1, ни число 18, ни, наконец, число ²/₃ не являются простыми. Число 1 потому, что оно имеет лишь один, а не два различных делителя, число 18 потому, что у него шесть различных делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, а число ²/₃ потому, что оно не является натуральным. Число же 7 является простым, так как оно имеет ровно два делителя: числа 1 и 7.

В древности философы усиленно искали характеристические свойства различных множеств. Например, знаменитому древнегреческому философу Платону приписывали следующее определение: "Человеком называется двуногое живое существо, лишенное перьев". Рассказывают, что его современник Диоген ощипал петуха и сказал: "Вот человек Платона". Пришлось Платону добавить к своему определению слова "и с широкими ногтями". Теперь уже получилось характеристическое свойство для множества людей, которое, впрочем, никак не раскрывало истинную сущность понятия человек.

Если слова "элемент x обладает свойством P>> обозначить для краткости P(x), то множество элементов, обладающих этим свойством, обозначают {x| P(x)}. Например, множество A = {x|x²-3x+2 = 0} состоит из всех корней уравнения x²-3x+2 = 0, а множество B = {x|x?N и 0<x<3} — из натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству 0<x<3. Оба эти множества состоят из чисел 1 и 2, то есть состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называют равными и пишут A = B = {1, 2}. Этот пример показывает, что, хотя понятия множества и его характеристического свойства тесно связаны друг с другом, они отнюдь не являются тождественными — одно и то же множество может задаваться различными характеристическими свойствами. Характеристические свойства, задающие одно и то же множество, называют обычно равносильными.

Во многих математических теоремах речь идет о совпадении двух множеств, например множества натуральных чисел, делящихся на 3, и множества натуральных чисел, сумма цифр десятичной записи которых делится на 3, или множества равносторонних треугольников и множества равноугольных треугольников. В некоторых случаях проблема совпадения или различия двух множеств, заданных своими характеристическими свойствами, не решена до сих пор. Например, неизвестно, совпадает ли множество натуральных чисел n, для которых уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имеет решение в натуральных числах, с множеством {1,2} (так называемая великая теорема Ферма), совпадает ли множество простых чисел p, для которых 2^p-1 делится на p², с множеством {1093, 3511} и т. д.