Общий фундамент.

Через всю историю развития математической науки проходят диалектические противоположность и единство двух ее частей, одна из которых изучает числа, а другая — фигуры. Натуральные числа отличаются друг от друга своими свойствами: одни из них четны, а другие нечетны, одни являются простыми, а другие — составными, одни могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, а другие так не представляются. Это бесконечное разнообразие свойств, столь разительно меняющихся при добавлении к числу хотя бы одной единицы, придает прелесть занятиям теорией чисел. Разумеется, столь же разнообразны по своим свойствам геометрические образы — треугольники и квадраты, окружности и параболы, астроиды и кардиоиды. Но все же каждая отдельно взятая линия, например прямая или окружность, состоит из совершенно одинаковых по своим свойствам точек.

По-разному проявляется в этих частях математики и идея бесконечности. В арифметике она воплощается как бесконечность натурального ряда чисел, а в геометрии — как бесконечность пространства и, в то же время как возможность неограниченного деления фигур на части. И все же, несмотря на эту, казалось бы, непреодолимую пропасть, связанную, быть может, с какими-то глубинными свойствами человеческого разума, на протяжении всей истории математики не прекращались попытки связать друг с другом арифметику и геометрию и постараться вывести всю математическую науку из единого основания.

В эпоху, когда математика была не столько наукой, сколько ремеслом, которым занимались египетские и вавилонские писцы, единство между арифметикой и геометрией проявлялось в наивной форме — среди различных задач рассматривали и задачи на вычисление площадей фигур и объемов тел. Первая попытка теоретического объединения арифметики и геометрии была предпринята в VI в. до н. э. в школе древнегреческого математика и философа Пифагора. Одно из дошедших до нас изречений Пифагора гласит: "Все есть число". Он не только пытался "поверить алгеброй гармонию", создав одну из первых математических теорий музыкальной гаммы, но и хотел свести к натуральным числам науку об измерении геометрических величин. Поэтому для всего миросозерцания пифагорейцев оказалось катастрофой сделанное одним из них открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата (в течение длительного времени они скрывали этот факт от непосвященных).

После того как стала ясной невозможность построить геометрию на основе понятия натурального числа, древнегреческие математики, наоборот, стали выражать в геометрических терминах соотношения между любыми величинами. Хотя дискретное лучше поддавалось логическому анализу, непрерывное лучше охватывалось интуицией. На языке геометрии греческие ученые выражали алгебраические закономерности (именно с тех пор в математике укоренились термины квадрат числа, куб числа, среднее геометрическое, геометрическая прогрессия и т. д.), исследовали квадратические иррациональности, решали кубические уравнения. Саму же геометрию греческие ученые строили на идее о безграничной делимости линий, фигур и тел. Они создали абстрактные понятия о точке, не имеющей размеров, о линии, имеющей лишь длину, о геометрической поверхности. И хотя эти понятия были лишь смелым теоретическим обобщением представлений о реальных точках, линиях и поверхностях, они верно служили ученым в их исследованиях и позволяли получать с их помощью правильные формулы для площадей и объемов.

После падения античной цивилизации центр математических исследований переместился в арабоязычные страны. Ученые этих стран были знакомы не только с наследием древних греков, но и с шедшей от вавилонских писцов традицией, содержавшей общие методы решения арифметических задач. Оказали на них влияние и открытия индийских математиков, которые создали десятичную систему счисления и, в отличие от древнегреческих ученых, свободно пользовались в своих работах отрицательными числами. Все это подготовило почву для создания алгебры, которая возникла в IX в. н. э. как наука о решении уравнений. Математики той эпохи, многие из которых жили в Средней Азии, не слишком задумывались над тонкостями, связанными с несоизмеримыми отрезками, и свободно использовали числа при изучении проблем геометрии.

Через несколько столетий начались исследования по алгебре и в Западной Европе (сначала в Италии), где были получены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, начато изучение комплексных чисел и стала развиваться буквенная символика. Буквенное исчисление сначала, в соответствии с древнегреческими традициями, носило геометрическую форму, что препятствовало рассмотрению выражений, содержавших слагаемые различных степеней.

Перед математической наукой возникла необходимость построить алгебру без опоры на геометрические понятия, освободить ее от несвойственной ей геометрической терминологии. Решающий шаг в этом направлении сделал Декарт[53]. На первый взгляд в его предложении не было ничего особенного — он просто предложил зафиксировать один отрезок e и назвать его единичным. Но это позволило рассматривать произведение двух отрезков a и b не как площадь прямоугольника с соответствующими сторонами, а как длину такого отрезка c, что a:e = c:b (заметим, что теория пропорций была тщательно разработана еще древнегреческими учеными). А квадратный корень из а получил истолкование как среднее геометрическое отрезков a и e. После Декарта математики могли свободно пользоваться любыми алгебраическими выражениями, не задумываясь над их геометрическим смыслом. С работ Декарта начался длившийся более двухсот лет процесс "арифметизации" математики, ее переноса с геометрического фундамента на арифметический.

В конце концов было получено свободное от геометрии определение действительных чисел. Это сделали в 70-х годах XIX в. Кантор, Вейерштрасс[54], Дедекинд и Мэре[55]. Они определили действительные числа, опираясь лишь на понятие натурального числа. Поскольку со времен Декарта математики умели задавать геометрические объекты наборами действительных чисел (например, точки — их координатами), появилась возможность "арифметизировать" и геометрию. Так возникло новое единство математики, построенной на арифметическом фундаменте. Ученые этой эпохи полагали, что им удалось свести непрерывное к дискретному.

Не случайно одним из создателей арифметического построения действительных чисел был создатель теории множеств Кантор, другим — его учитель и вдохновитель Вейерштрасс, а третьим — Дедекинд, который в своих работах очень близко подошел к идеям теории множеств. Хотя конструкции в предложенных определениях отличались друг от друга, в любой из них действительное число определялось как некоторое бесконечное множество рациональных чисел. Например, в теории Вейерштрасса действительные числа определялись как бесконечные десятичные дроби. Но чтобы задать такую дробь, надо указать десять подмножеств натурального ряда чисел: для каждой цифры — множество номеров мест, на которых она написана. А в теории Дедекинда действительное число а прямо определялось с помощью разбиения всего множества рациональных чисел на два подмножества — одно из них содержит числа, не превосходящие числа ?, а второе — большие, чем ?.

Одновременно с этим в работах Г. Фреге[56] была сделана попытка построить на основе понятия множества саму арифметику натуральных чисел. Тем самым теория бесконечных множеств становилась общей основой как арифметики, так и геометрии, как дискретного, так и непрерывного. Получалось, что сначала надо изучить бесконечные множества, а потом выделить в их теории небольшой уголок, где скромно ютились бы конечные множества, и уже тогда получать натуральные числа. Как сказал Гильберт[57], "благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего полного триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха".

Однако не все ученые безоговорочно принимали новую точку зрения на математику. Вначале открытия Кантора натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Оппозицию новым воззрениям возглавил один из виднейших алгебраистов тех лет Л. Кронэкер[58]. По его убеждениям, предметом математики могло быть лишь то, что выражалось через натуральные числа за конечное число шагов. Он говорил: "Натуральные числа создал господь бог, а все остальное — дело человеческих рук". Поэтому отвергалась не только теория бесконечных множеств, считавшаяся вообще чем-то сумасбродным, по и новомодная теория действительных чисел.

Сдержанность, с которой многие математики приняли работы Кантора, объяснялась отчасти тем, что сама идея рассматривать бесконечность как нечто завершенное противоречила установившимся взглядам, и потому многие ученые считали исследования в области бесконечных множеств чем-то далеким от насущных задач науки. Большую роль в этом неприятии сыграл стиль работ Кантора, представлявший собой смесь математических исследований с философско-теологическими отступлениями. Трансфинитные числа настораживали тем, что с их помощью нельзя было ни вычислить какой-нибудь головоломный интеграл, ни просуммировать сложный ряд, ни решить дифференциальное уравнение. Успехи же Кантора в области конкретной математики (например, доказательство существования трансцендентных чисел) не казались слишком впечатляющими.

Но была в математике область, для которой теория множеств явилась хлебом насущным — новейшая для той поры теория функций действительного переменного. Чтобы понять, почему именно в этой области идеи Кантора оказались особенно полезными, нам придется вспомнить ход развития понятия функции.