Непонятная аксиома.

Неудача, постигавшая всех ученых, думавших над проблемой континуума, привела к тому, что возник вопрос, а можно ли вообще вполне упорядочить множество точек отрезка, есть ли у континуума вообще место на шкале трансфинитных чисел. Кантор с 1883 г. был убежден в том, что ответ на этот вопрос положителен. По его мнению, любое множество, а не только континуум можно было вполне упорядочить. Однако и здесь ему никак не удавалось найти подходы к проблеме.

Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 г. Цермело[102], которому удалось доказать возможность полного упорядочивания любого множества. Однако не все математики согласились с ним. И дело было не в том, что Цермело допустил где-то ошибку в рассуждениях. Он рассуждал совершенно логично и даже подчеркнул, что в ходе доказательства было использовано одно утверждение, которым математики широко пользовались и до того, хотя и не высказывали в явной форме. Это утверждение, названное впоследствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, заключается в следующем.

Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок. Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сложить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок, а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома выбора: Если дало бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не указывая заранее закона выбора.

Вот в этих-то последних словах все дело — аксиома выбора приводит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается, например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя было вполне упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной. Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с ее помощью, совершенно противоречили наглядности. Поэтому Бертран Рассел так высказался о ней. "Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы: под конец же перестаешь понимать, что же она означает".

А Лузин признавался: "Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело. Если бы только кто-нибудь знал, что это за вещь!"

Здесь поневоле вспоминаются слова Мефистофеля из "Фауста" Гете:

Понять ее пытаться — труд напрасный,

Глупец и умный с толку будет сбит

Противоречий массою ужасной.

Правда, к противоречиям эта аксиома не приводила, но непонятных следствий из нее можно было получить сколько угодно.