На длинном и коротком отрезках поровну точек.

До тех пор пока читатель не познакомился с удивительными свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос: "Где больше точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?" — вряд ли вызвал бы у него хоть тень сомнения. Ясно, что на отрезке в 1 м куда больше точек, он ведь в 1000 раз длиннее. Но теперь, вероятно, читатель поостережется делать столь безапелляционные заявления — уж слишком непохожи свойства бесконечных множеств на то, чему учит обыденная жизнь. И действительно, на очень коротком и очень длинном отрезках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков. Как это сделать, лучше всего видно из рис. 8. Центральная проекция из точки O ставит в соответствие точке A точку C, точке B — точку Д и т. д. В результате каждой точке отрезка АВ соответствует одна и только одна точка отрезка CD.

Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!

Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между множеством точек на прямой и множеством точек на отрезке можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рис. 9

Мы возьмем даже не весь отрезок, а выбросим из него концы (как говорят, возьмем не отрезок, а промежуток). Как установить взаимно однозначное соответствие между промежутком и прямой, видно из рис. 9. Сначала точки промежутка отображают на полуокружность, а потом проектируют полуокружность на прямую. Ясно, что при этом каждой точке промежутка соответствует одна и только одна точка прямой, причем ни одна точка на прямой не пропущена.

Впрочем, это соответствие можно установить и по другому, с помощью кривой — тангенсоиды, графика функции y = tg x (рис. 10).

Рис. 10