Квинтет демонов.

Одной из причин, по которой виднейшие математики отказались поверить в возможность полного упорядочивания континуума, было именно отсутствие какой-либо обозримой конструкции для такого упорядочивания. В связи с этим возникло оживленное обсуждение вопроса, что же значит в математике слово "существует". Означает ли это выражение, что соответствующий математический объект допускает определенную конструкцию или можно рассматривать и множества, существующие лишь в силу аксиомы выбора? Какой смысл имеет понятие множества всех подмножеств континуума, если мы не можем описать конструктивно большую часть этих подмножеств? После некоторого "инкубационного периода" болезнь вышла наружу и в 1905 г. известнейшие французские математики (Адамар, Борель, Бэр[103], Лебег) опубликовали свою переписку о том, что такое бесконечность и какие бесконечные множества следует считать существующими. Этими же вопросами усиленно занимались Гильберт и молодой голландский математик Брауэр.

Каждый из споривших давал свой ответ на возникшие вопросы, не соглашаясь с мнением других. Споры шли весьма оживленно, поскольку, по словам Гильберта, с давних пор никакой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном: бесконечное действовало на разум столь побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно понятие не нуждалось, по мнению Гильберта, так сильно в разъяснении, как бесконечность.

Спор между математиками становился временами очень острым — ведь спорили сами боги математического Олимпа. Чтобы дать читателю представление о точках зрения разных ученых, приведем яркую цитату из книги Н. Н. Лузина "Современное состояние теории функций действительного переменного", где он использовал введенный когда-то Максвеллом образ "демона", который открывает и закрывает перед молекулами отверстия и этим путем отделяет быстрые молекулы от медленных, нагревая газ в одной части сосуда и охлаждая его в другой. Лузин писал: "Если анализировать взгляды творцов современной теории функций, легко подметить, что каждый из них в процессе своей работы исходит из определенной концепции возможного и допустимого, за пределами которого кончается область математики и начинается область, лежащая, по выражению Бореля, вне математики... Если, следуя примеру Максвелла, приписать область возможного и исполнимого того или иного автора соответствующему воображаемому существу, то получится следующая схема:

1 "Демон" Брауэра. Его область есть область целого[104] конечного и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит "вне математики".

2 "Демон" Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь facon de parler[105] и находится "вне математики".

3 "Демон" Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — "вне математики".

4 "Демон" Лебега. Его область есть область мощности континуума: всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому "демону"...

5 "Демон" Цермело. Его поле операций — всякие мощности; в частности, всякое множество "демон" Цермело может сделать вполне упорядоченным".

Разница в силе "демонов" Бореля и Лебега видна из следующего примера. Пусть надо узнать, выполняется ли для всех элементов множества X неравенство x?a. Если множество X счетно, то с решением проблемы справится "демон" Бореля, так как придется рассмотреть вопрос о выполнении счетного множества неравенств x_k?a, а это ему по силам. Если же X несчетно, то "демон" Бореля не сумеет ответить на поставленный вопрос, а для "демона" Лебега задача окажется доступной — ведь он может выполнить и континуум операций.

Точка зрения самого Лузина по дискутируемым проблемам не была однозначной. Чаще всего он стоял на позициях Бореля, указывая, что "понятие несчетной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства "от противного", не соответствует никакой достижимой реальности...". Однако иногда он склонялся больше к точке зрения Бэра, утверждая, что мы не имеем достаточно ясной концепции актуальной бесконечности, хотя это понятие и может быть определено в терминах абстрактной логики. Польскому же математику Куратовскому[106] он писал: "Несмотря ни на что, я не могу рассматривать как данное множество целых положительных чисел, потому что самая идея актуальной бесконечности мне кажется мало естественной, чтобы рассматривать ее в себе". И далее: "Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной. Кажется, что она почти объективна и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле". Он считал, однако, что еще преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных числах, недостижимых, если отправляться от 1.

Прямой противоположностью взглядам Лузина на сущность математических проблем является точка зрения Николя Бурбаки[107]. Он утверждает существование всего непротиворечивого и потому стоит на позициях Цермело, допуская любые мощности, признавая без ограничений аксиому выбора и все ее следствия, включая парадокс о разбиении сферы и утверждение о полной упорядочиваемости континуума. Вопрос же, приложима ли такая математика к познанию реального мира, его, кажется, совсем не интересует.

Всегда допускал работу с множествами произвольно высокой мощности и П. С. Александров. Например, он обобщил понятие размерности на очень широкий класс пространств, не удовлетворяющих никаким условиям счетности, развил в таких пространствах геометрию и т. д. Таким образом, "демон" Цермело позволяет, с одной стороны, получать чрезвычайно красивые результаты, а с другой — ведет к утверждениям, наглядный смысл которых невозможно понять.

Выбор "демона" из описанного выше квинтета осложняется парадоксом, который заключается в том, что все "неприятности", возникающие для множеств сколь угодно высокой мощности, можно смоделировать уже для счетных множеств. Получается, что за осложнения в математике несет ответственность не применение множеств слишком высокой мощности, а сама идея актуальной бесконечности.