Понятие без определения.

О многом и едином рассуждали Пифагор и Зенон, Платон и Аристотель. Еще пифагореец Модерат определял число (разумеется, натуральное), как собрание единиц, а Евклид в VII книге "Начал" прямо пишет, что "Число же — множество, составленное из единиц" (в древнегреческой математике единица числом не считалась).

Но "теоретико-множественный бум", то есть широкое использование теории множеств в самых разных областях науки и техники, возник только в XX в. Почему же раньше обходились без этого понятия? Ответ на этот вопрос весьма несложен: те, кто раньше не знал о множествах, были подобны мольеровскому герою, не знавшему, что он говорит прозой. Они имели дело с множествами на каждом шагу, не называя их лишь по имени.

Экономист, планировавший взаимосвязи между цехами завода, не думал о каждом отдельном станке, он размышлял о всей совокупности токарных или фрезерных станков и об их производительности. Точно так же офицер, готовивший военную операцию, должен был в зависимости от своего ранга обдумывать действия роты или батальона, полка или дивизии, но не действия каждого солдата в отдельности.

Всем им приходилось работать с совокупностями некоторых объектов, изучая их как нечто целое, объединенное в один коллектив. Математик сказал бы, что они имели дело со множествами элементов, а не с отдельными элементами. К сожалению, он не смог бы ответить на вопрос, что же такое множество. Дело в том, что математики привыкли, определяя новое понятие, сводить его к другим, уже известным ранее. Но откуда-то надо начинать, а понятия более первичного, чем множество, в математике нет.

Это и неудивительно, если вспомнить, что почти любая наука начинается с классификации, с объединения в одно целое похожих объектов или понятий и с разграничения непохожих вещей. До того, как возникла биология, люди должны были научиться отличать друг от друга волков и шакалов, зайцев и кроликов. А до создания минералогии надо было много столетий собирать камни и отличать друг от друга граниты и кремни, малахиты и яшмы. Но каждая классификация с точки зрения математики сводится к образованию множеств по некоторым признакам. Поэтому и нельзя свести понятие множества к более простым. Мы ограничимся лишь тем, что приведем еще несколько примеров множеств.

Можно говорить, например, о множестве стульев в данной комнате, о множестве всех протонов на Юпитере, о множестве слов, встречающихся в произведениях А. С. Пушкина, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех точек на плоскости, о множестве всех сфер в пространстве и т. д.

Объекты или понятия, из которых составлено данное множество, называются его элементами. Приведенные выше примеры показывают, что этими элементами могут быть как реальные объекты (стулья, протоны, рыбы и т. д.), так и абстрактные понятия (числа, точки, геометрические фигуры и т. д.). В качестве элементов множеств могут выступать даже такие создания человеческой фантазии, как мифологические герои, привидения и боги всевозможных религий.

Если множество состоит из реальных объектов, оно, как правило, конечно, то есть содержит конечное число элементов. Конечные множества обычно задают списком их элементов. Например, множество дней недели задается списком

{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Разумеется, конечные множества, содержащие слишком много элементов, задать списком невозможно — вряд ли кому-нибудь удастся "переписать" всех рыб в океане или все песчинки на берегу моря.

Конечными могут быть и множества, состоящие из абстрактных понятий или мифологических героев и богов (например, конечны множества четных простых чисел, олимпийских богов и т. д.). А множество натуральных чисел бесконечно, так же как и множество точек на плоскости.

Фигурные скобки, в которые заключен список элементов множества, символизируют объединение этих элементов в одно целое. При этом принадлежность элемента а множеству А записывают с помощью знака ?: а?А. Если нее элемент а не принадлежит множеству А, то пишут, что а?А. Например, если обозначить буквой N множество натуральных чисел, то 6?N, а ³/₄?N и крокодил ?N. Если А — множество всех месяцев в году, то май ?A, а среда ?A.

Итак, говоря о множестве, мы объединяем некоторые элементы или понятия в одно целое и в дальнейшем оперируем этим целостным понятием. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор[39] выразил это так: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое".

Для того чтобы наглядно представить себе понятие множества, один из основателей русской теоретико-множественной школы академик Н. Н. Лузин[40] предложил следующий образ. Представим прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде плотно закрытого прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки заключены все элементы данного множества А и что, кроме них, никаких элементов там не находится. Эта оболочка с находящимися внутри нее предметами и может служить образом множества А, состоящего из этих элементов. Сама же прозрачная оболочка, охватывающая все элементы множества, и только их, изображает тот акт объединения элементов, в результате которого создается множество А.