Арифметика бесконечности.

Арифметика натуральных чисел не сводится к простому счету "один, два, три..." Натуральные числа можно складывать и вычитать, умножать и возводить в степень. Эти операции тесно связаны с операциями над конечными множествами. Складывая натуральные числа m и n, мы подсчитываем число элементов в объединении двух множеств, одно из которых содержит m элементов, а другое — n элементов (при этом, конечно, нужно, чтобы объединяемые множества не имели общих элементов — иначе получится меньше элементов, чем нужно). А умножая m на n, мы подсчитываем число пар (a, b), первый элемент которых принадлежит множеству A, состоящему из m элементов, а второй — множеству B, содержащему n элементов. В математике множество таких пар называют декартовым произведением множеств A и B и обозначают A?B.

Обозначим объединение множеств A и B, не имеющих общих элементов, через A+B, а мощность множества A — через |A|. Тогда сказанное выше можно записать так:

|A + B| = |A| + |B|,

|A?B| = |A||B|.

Но левые части этих равенств имеют смысл и для бесконечных множеств. Это позволяет определить операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. С их помощью установленные ранее утверждения о мощностях можно записать в виде формул, где через N обозначено множество натуральных чисел, а через ? — множество точек отрезка [0; 1]:

n + |N| = |N|, |N| + |N| = |N|, |N| = |N|, |N| + |?| = |?|, |N||?| = |?|, |?||?| = |?|

и т. д. Например, равенство |N||N| = |N| означает, что счетное множество счетных множеств счетно, а равенство |?||?| = |?|,- что квадрат имеет столько же точек, что и отрезок.

Для бесконечных мощностей можно определить и операцию возведения в степень с бесконечным же показателем. Несложно доказать, что число отображений множества A в множество B равно |B|^|A|. Поэтому и для бесконечных мощностей смысл записи |B|^|A| определяется аналогичным образом. Например, равенство 2^|N| = |?| означает, что множество бесконечных последовательностей, составленных из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного.