Алгебраические числа.

Нам удалось занумеровать все рациональные числа. Но рациональные числа получаются из натуральных чисел с помощью лишь одной операции — деления (и еще, быть может, изменения знака). А теперь мы добавим еще операцию извлечения корня и будем рассматривать все числа, которые можно получить из натуральных чисел с помощью этой операции и арифметических действий. Среди этих чисел будут такие, как и даже такие "монстры", как

Возникает вопрос: можно ли занумеровать множество всех таких чисел? Это кажется еще более трудным, чем занумеровать множество рациональных чисел. В самом деле, какому числу надо приписать меньший номер: или ? Но оказывается, что и это множество счетно, то есть его элементы можно перенумеровать.

Чтобы доказать это утверждение, отметим сначала, что каждое число рассматриваемого вида является корнем алгебраического уравнения вида

где a₀?0 и a₀ , ..., a_n — целые числа. Например, ³/₇ — корень уравнения 7x — 3 = 0, — корень уравнения x³ — 5 = 0, а — корень уравнения x⁶ — 6x⁴ + 12x² — 11 = 0. Иногда бывает очень трудно написать уравнение, которому удовлетворяло бы число описанного выше вида, но тем не менее это всегда возможно.

Заметим, что далеко не все корни уравнений вида (1), где a₀,..., a_n — целые числа, выражаются через натуральные числа с помощью арифметических действий и операции извлечения корня. Например, корни уравнения

x⁵ — 3x + 3 = 0

нельзя выразить в таком виде, оно, как говорят, не решается в радикалах. Все числа, являющиеся корнями уравнений вида (1) с целыми коэффициентами, называют алгебраическими числами. Таким образом, множество алгебраических чисел содержит в себе множество всех чисел, выражаемых через натуральные с помощью арифметических действий и извлечений корней. Поэтому если нам удастся перенумеровать все алгебраические числа, то тем более мы решим задачу, поставленную в начале этого пункта.

Но прежде чем нумеровать алгебраические числа, надо перенумеровать сами алгебраические уравнения вида (1), А тогда задача будет уже решена. Ведь каждое алгебраическое уравнение n-й степени имеет не более n корней. Поэтому после того, как все уравнения с целыми коэффициентами будут перенумерованы, мы составим таблицу, в первой строке которой будут все различные корни первого уравнения, во второй — все различные корни второго уравнения, не попавшие в первую строку, в третьей- все различные корни третьего уравнения, не попавшие в первую или вторую строку, и т. д. Таблица получится такая:

Теперь ясно, как нумеруются все числа этой таблицы (порядок нумерации указан стрелками).

Итак, займемся нумерацией множества алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Для этого применим идею, с помощью которой пробовал решить самую трудную задачу директор гостиницы. Напомним, что он предложил воспользоваться числами вида 2^m3ⁿ. Чтобы решить нашу задачу, придется использовать все простые числа. Читатель, конечно, помнит, что любое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения простых множителей.

Поступим следующим образом. Сначала перенумеруем все целые числа (это мы уже умеем делать). Номер целого числа a обозначим через a. Каждому уравнению вида a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0 (где, напомним, a₀,..., a_n — целые числа) поставим в соответствие число

(через p_n+1 здесь обозначено (n-+1)-е простое число). Например, уравнению 3x² — 2 = 0 ставим в соответствие номер 2⁴3¹5⁶ = 150 000, потому что целое число -2 имеет номер 4, нуль — номер 1, а целое число 3 — номер 5. Теперь каждое уравнение получило свой номер, причем разным уравнениям соответствуют разные номера (каждый номер N единственным образом разлагается на простые множители, то есть единственным образом задает числа a_n, a_n+1,..., a₀; этим же числам соответствуют определенные целые числа a_n, a_n-1, ..., a₀, а тем самым и определенное уравнение a₀xⁿ+ ... + a_n = 0).