Существование трансцендентных чисел.

Мы говорили, что алгебраическими числами называют числа, являющиеся корнями уравнений

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0

с целыми коэффициентами. Числа же, не являющиеся корнями таких уравнений, называют трансцендентными.

В течение долгого времени математики имели дело лишь с алгебраическими числами, такими, как и т. д. Лишь ценой больших усилий французскому математику Лиувиллю[49] удалось найти в 1844 г. несколько трансцендентных чисел. А доказательство трансцендентности числа ?, проведенное Линдеманом[50] в 1882 г. было большим научным событием: ведь из него следовала невозможность квадратуры круга.

И вдруг оказалось, что алгебраические числа, которые встречаются на каждом шагу, на самом деле являются величайшей редкостью, а трансцендентные числа, которые так трудно строить,- обычным правилом. В самом деле, мы уже видели, что алгебраические числа образуют лишь счетное множество. Множество же всех действительных чисел, как мы только что обнаружили, несчетное. Значит, несчетна и разность множества действительных чисел и множества алгебраических чисел, а это и значит, что множество трансцендентных чисел несчетно.

Это доказательство существования трансцендентных чисел, полученное Кантором в 1873 г., отличалось от доказательства Лиувилля тем, что опиралось лишь на общие соображения о счетности и несчетности множеств, а не на специальные свойства алгебраических чисел. Из теорем Лиувилля вытекает, например, что число 0,1010010000001..., в десятичной записи которого после n-й единицы стоит n! нулей, трансцендентно. А для того чтобы получить пример трансцендентного числа исходя из доказательства Кантора, придется пройти гораздо более длинный путь: сначала занумеровать все алгебраические числа, потом записать их в виде десятичных дробей и, наконец, строить диагональным процессом искомое число. Вряд ли за обозримый промежуток времени удастся ответить, чему равен, например, десятичный знак этого числа с номером 10¹⁰⁰. А метод Лиувилля позволяет строить трансцендентные числа, для которых, хотя и с трудом, ответить на такие вопросы можно. Таким образом, общность метода доказательства оборачивается его слабостью при переходе к конкретным вопросам.

Рис. 8