Замкнутая линия бесконечной длины.

С линиями бесконечной длины мы встречаемся часто — бесконечную длину имеют прямая линия, парабола, гипербола и т. д. Все эти линии уходят в бесконечность, а потому и неудивительно, что их длина бесконечна. Впрочем, нетрудно построить и линию, целиком лежащую в конечной части плоскости, но имеющую бесконечную длину. Для этого надо взять окружность и намотать на нее спираль с бесконечным числом оборотов. Так как число оборотов бесконечно, а длина каждого витка больше длины окружности, то длина всей спирали бесконечна.

Но может ли существовать замкнутая линия бесконечной длины? Обычные замкнутые линии: окружность, эллипс, кардиоида — имеют конечную длину. Длина же колючей линии Ван-дер-Вардена бесконечна.

В самом деле, легко подсчитать, что после n-го шага получается линия, имеющая периметр 3*(⁴/₃ⁿ). Но при возрастании n это выражение стремится к бесконечности. Отсюда и вытекает, что длина линии Ван-дер-Вардена бесконечна.