Равна ли часть целому?

Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого. Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № n переезжал в № 2n. Иными словами, расселение шло по следующей схеме:

Но эта схема устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел

1, 2, 3, ..., n, ...

и его частью — множеством четных чисел

2, 4, 6, ..., 2n, ...

А мы договорились считать, что множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат поровну элементов. Значит, множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть — множество четных чисел.

Точно так же можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида

10, 100, 1000, 10 000, ...

Для этого надо сопоставить каждому натуральному числу n число 10ⁿ:

n?10ⁿ.

Этим желаемое взаимно однозначное соответствие и устанавливается. Аналогично устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех квадратов натуральных чисел:

n?n²

или множеством всех кубов натуральных чисел:

n?n³

и т. д.

Вообще между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку числа из этой части.

Впрочем, пе зря говорят, что ничто не ново под лупой, а новое — это только хорошо забытое старое. Еще в начале XVII в. Галилей размышлял о противоречиях бесконечного и обнаружил возможность взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множеством их квадратов. В его книге "Беседы и математические доказательства, относящиеся к механике по местному движению" (1638 г.) приведен диалог, в котором Сальвиати, выражающий мысли самого Галилея, говорит:

"Сказанное нами относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая и меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей".

В подтверждение своей мысли Сальвиати отмечает, что, с одной стороны, "квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня, и ни один корень — более одного квадрата...[47] При этом число корней равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-нибудь квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равно общему количеству всех чисел..."

С другой стороны, Сальвиати отмечает, что "количество всех чисел вместе — квадратов и неквадратов — больше, нежели одних только квадратов", причем "числа квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывают по мере того, как мы переходим к большим числам". В качестве единственного выхода из обнаруженного противоречия Сальвиати предлагает следующее:

"Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что бесконечно количество чисел вообще, бесконечно число квадратов, бесконечно и число корней. Нельзя сказать, что число квадратов меньше количества всех чисел, а последнее больше: в конечном выводе свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам".

Мы видим, что Галилей, по сути дела, владел идеей взаимно однозначного соответствия и видел, что такое соответствие можно установить между множеством всех натуральных чисел и множеством квадратов, а потому эти множества можно считать имеющими одинаковое количество элементов. Понимал он и то, что для бесконечных множеств часть может быть равной целому. Но отсюда он сделал неверный вывод, что все бесконечности одинаковы: он имел дело лишь с бесконечными подмножествами натурального ряда, а их можно перенумеровать.

Галилей не мог себе представить, что множество всех точек отрезка перенумеровать нельзя (это вскоре будет показано). Подобно атомистам древности, он полагал, что отрезок складывается из поддающейся пересчету бесконечной совокупности атомов.