Кривая проходит через все точки квадрата.

Когда Жордан дал свое определение кривой, то сначала казалось, что цель достигнута, получено строгое определение понятия линии, не опирающееся на наглядность. Но вскоре оказалось, что это не так. Определение Жордана охватывало не только привычные для математиков линии, но и фигуры, которые никто бы линиями не назвал. Уж со всюду колючими линиями математики как-нибудь примирились бы. Но назвать линией квадрат, на это ни у кого не хватило бы духу. А оказалось, что и квадрат, и треугольник (не периметр треугольника, а сам треугольник со всеми его внутренними точками), и круг являются линиями в смысле Жордана. Доказал это итальянский математик Пеано[74].

Мы уже рассказывали, что Кантор установил взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и квадрата, то есть показал, что отрезок содержит ровно столько же точек, что и квадрат. Построенное им соответствие не было непрерывным. Когда точка двигалась по отрезку, соответствующая ей точка на квадрате не ползла подобно жуку, а прыгала как блоха. В самом деле, возьмем на отрезке точки

0,50000000... и 0,499999990000000...

Эти точки довольно близки друг к другу. Но соответствующие им точки на квадрате далеки друг от друга. Ведь первой из них соответствует точка (0,50000... , 0,0000...), лежащая на нижней стороне квадрата, а второй — точка (0,4999000... , 0,9999000...), лежащая у самой верхней стороны квадрата. И если мы будем увеличивать число девяток у второй точки, приближая ее к первой, то соответствующие точки квадрата и не подумают приближаться друг к другу.

Таким образом, канторово отображение отрезка на квадрат хотя и было взаимно однозначным, но не было непрерывным. Оно не давало, таким образом, жордановой кривой. Пеано удалось построить другое отображение множества точек отрезка на множество точек квадрата, при котором близким точкам на отрезке соответствовали близкие точки квадрата. Иными словами, Пеано удалось построить кривую линию (в смысле Жордана), которая прошла через все точки квадрата!

Разумеется, мы не можем нарисовать кривую Пеано, разве что, подражая художнику-абстракционисту, нарисуем черный квадрат. Но ведь на этом квадрате все равно нельзя будет понять, где начинается кривая, где она кончается, как она обходит квадрат. Поэтому последуем примеру не художника-абстракциониста, а физика Перрена и будем приближенно изображать путь точки в виде ломаной. Чем меньше будут промежутки времени между отдельными "наблюдениями", тем точнее получившаяся ломаная изобразит кривую Пеано.

Сначала будем отмечать положение движущейся точки через каждые ¹/₄ с. Иными словами, отметим ее положение в начале движения, через ¹/₄ с после начала движения, через ¹/₂ с после начала движения, через ³/₄ с и в конце движения. Мы получим 5 точек. Соединив их, получаем линию ABCDE, изображенную на рис. 22, а.

Рис. 22

Разумеется, эта линия не проходит через все точки квадрата. Но мы уменьшим промежутки времени между отдельными наблюдениями и будем отмечать положение точки каждые ¹/₁₆ с. Линия станет более извилистой, увеличится число изломов, и она примет вид, изображенный на рис. 22, б. Если еще чаще отмечать положение движущейся точки, то получим линию, изображенную на рис. 22, в. Мы видим, что линия все плотнее и плотнее заполняет квадрат, все ближе и ближе подходит к каждой его точке. В пределе, если все время наблюдать за движущейся точкой, мы получим линию, проходящую через все без исключения точки квадрата.

Надо отметить, что, выиграв по сравнению с Кантором в том, что его линия оказалась непрерывной, Пеано потерял в другом. Его линия уже не задавала взаимно однозначного отображения отрезка на квадрат. Через некоторые точки квадрата она проходила по нескольку раз. Позже было доказано, что невозможно сохранить одновременно и непрерывность, и взаимную однозначность соответствия: не существует жордановой кривой, проходящей через все точки квадрата в точности по одному разу!