Евклид отказывает в помощи.

Когда перед математиками прежних времен вставал сложный геометрический вопрос, они в первую очередь отправлялись смотреть, что написано об этом у Евклида. Ведь на протяжении почти двух тысячелетий Евклид был эталоном математической строгости и энциклопедией геометрической мудрости. Не зря даже философы, стремясь обезопасить себя от упреков в нестрогости рассуждений, прибегали к языку Евклида и формулировали свои утверждения как аксиомы, леммы и теоремы.

Но как раз по интересующему нас вопросу у Евклида написано нечто совсем невнятное. Первые строки книги Евклида "Начала" гласят следующее:

   1. Точка есть то, что не имеет частей.

   2. Линия же — длина без ширины.

   3. Оконечность же линии — точка.

   4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

   5. Оконечность же поверхности — линия.

   6. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

   7. Фигура есть то,- что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.

Нет, как хотите, а это что угодно, но не строгие математические определения. Человек, не знающий, что такое точка, линия, поверхность, вряд ли почерпнет полезные для себя сведения из этих "определений", напоминающих ответ растерявшегося генерала ("Линия — это особь статья, а поверхность — особь статья"). И уж во всяком случае из этих определений не удастся узнать, что такое ковер Серпинского — линия или поверхность,; есть ли у него только длина без ширины или и длина, и ширина.

Но во времена Евклида таких сложных фигур, как ковер Серпинского, не знали, а для простых фигур определения были не слишком нужны: всякий и так мог увидеть, где на чертеже линия, а где поверхность. Впрочем, и сам Евклидг по-видимому, чувствовал, что с определениями основных понятий у него не все ладно. Во всяком случае, приведя эти определения в начале книги, он потом начисто о них забыл и ни разу на протяжении всего труда ими не воспользовался.