Проигранное пари.

Нам осталось рассказать об одной попытке вывести теорию множеств, а с нею и всю математическую науку из затянувшегося состояния кризиса. Ее предпринял в 1907 г. Брауэр, который в значительной степени опирался на мнения, неоднократно высказывавшиеся Кронекером и Пуанкаре. По мнению Брауэра и его последователей, начиная с XVII столетия в математическом анализе и геометрии совершенно игнорировался особый характер понятия бесконечности. Поэтому они считали, что слывшие строгими методы теории действительных чисел и математического анализа, введенные в математику учеными XIX в., не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Тем самым отвергалась в целом вся концепция математики, шедшая от Коши, Вейерштрасса и Кантора.

Брауэр и его школа полагали, что эта концепция действительного числа и функции лишь маскирует опасности, таящиеся в понятии бесконечности, изобилует порочными кругами в рассуждениях и претендует на чрезмерную общность, что неизбежно приводит к противоречиям. Тем самым полностью отвергался прогресс в деле укрепления основ классической математики, достигнутый в XIX в., а канторовская теория множеств рассматривалась как "любопытный патологический казус" в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас. Особенно интересно во всем этом то, что сам Брауэр имел значительные достижения в области теоретико-множественной математики.

Чтобы поставить математику на правильный, по их мнению, путь, надо было опираться на интуицию — отсюда идет и название этого направления в науке — интуиционизм. Интуиционисты отказывались рассматривать континуум как множество, состоящее из точек, поскольку считали понятие континуума более первичным, чем понятие точки. Они говорили, что континуум — это среда свободного становления точек, а не множество точек.

Придирчивой критике интуиционисты подвергли самую логику, которой пользовались все математики XIX в., да и предшествующих столетий. В частности, они категорически отвергли один из основных законов аристотелевой логики, а именно закон исключенного третьего, который состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным. По мнению интуиционистов, этот закон был выведен из наблюдений над конечными совокупностями предметов и имеет место лишь для утверждений, касающихся таких совокупностей. Например, чтобы убедиться в истинности высказывания: "Среди людей, проживавших на земном шаре 1 января 1983 г., не было двухсотлетних", достаточно проверить возраст каждого человека, жившего в этот день. Но такой метод проверки не годится для выяснения свойств элементов бесконечных множеств — эти элементы не построишь в ряд и не устроишь поголовную проверку документов.

Таким образом, из арсенала интуиционистов выпало столь сильное средство доказательства, как доказательство от противного. Они отвергали "чистые доказательства существования" и требовали каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства существования чего-либо они принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. Германн Вейль, примкнувший к движению интуиционистов, сравнивал конкретные утверждения с сокровищами, а теоремы существования — с бумагами, содержащими указания, где надо искать сокровища. Доведение теоремы существования до конструкции завершало поиск сокровища.

Иными словами, интуиционисты требовали от утверждений вида "существуют четные числа" переходить к утверждениям "число 2 — четное".

В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, следующее: "В десятичном разложении числа я идут десять цифр 9 подряд". В те времена было известно лишь 707 десятичных знаков для я (да и то большая часть из них оказалась неверной). Сейчас с помощью ЭВМ найдено неизмеримо больше десятичных знаков для ?, так что среди них уже есть, быть может, идущие подряд 10 девяток. Но если заменить число 10 на 10¹⁰⁰⁰, то можно быть уверенным, что задача вычисления необходимого для проверки нашей гипотезы количества десятичных знаков окажется неразрешимой для любых машин, которые когда-либо будут построены. А так как теоретически решить проблему тоже невозможно, то утверждение о наличии в десятичном разложении числа n 10¹⁰⁰⁰ идущих подряд девяток заведомо непроверяемо. Правда, один из математиков, присутствовавших на докладе Брауэра, сказал, что хотя мы и не знаем, верно это утверждение или нет, но господь-бог знает. "Я не имею прямой связи с богом",- сухо возразил Брауэр.

Вся математика получила в руках интуиционистов иной вид. Например, в их анализе нет разрывных функций, а в их арифметике из равенства нулю произведения еще не следует обращение в нуль хотя бы одного из множителей. Вообще, почти каждое утверждение классической математики приходилось заменять весьма непривычно звучащим интуиционистским аналогом, а от многого надо было отказаться. "Я не считаю неприкосновенными все теоремы из обычных учебников",- заявил интуиционист Сколем.

Призыв к столь коренным преобразованиям нашел признание лишь у небольшой (хотя и весьма влиятельной) группы ученых. Яростным противником брауэровских реформ был Гильберт. Он говорил: "То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт то, что вызывает беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших ценных сокровищ".

Гильберт гневно утверждал, что отнять у математиков закон исключенного третьего все равно, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Он писал, что запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки, а жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом результаты, которые были выработаны интуиционистами, не могут идти ни в какое сравнение с могуществом современной математики. Горько сетовал Гильберт на то, что в среде математиков смогла иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека.

Не оставались в долгу и интуиционисты, утверждая, что программа спасения математики, предложенная Гильбертом, ведет к тому, что из науки изгоняется смысл. Однако большинство математиков примкнуло в данном вопросе к точке зрения Гильберта, полагая, что само существование математики и обширность ее приложений в течение многих столетий свидетельствуют о том, что она не столь уж нелепа и бессодержательна, и для того, чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу.

Несмотря на то что большинство математиков отвергало идеи интуиционистов, те были уверены в своей грядущей победе. В 1918 г. Германн Вейль предложил своему другу известному венгерскому математику Дьердю Пойа[113] пари, что через 20 лет идеи интуиционизма восторжествуют. В качестве критерия он указал две теоремы классического анализа, которые можно найти в любом учебнике высшей математики, но которые не имеют смысла в математике интуиционистов. По его мнению, через двадцать лет эти теоремы должны были исчезнуть из общепризнанной математики. Однако по истечении этого срока Вейль признал, что пари проиграно (хотя и уговорил Пойя не публиковать соответствующего заявления, что предусматривалось условиями пари).

Следует отметить, что за последние десятилетия интерес к интуиционизму снова возрастает, причем многие выдающиеся логики явно или неявно примыкают к этому течению математической мысли.