Все лежало в развалинах.

Трудно передать словами впечатление, произведенное на математический мир результатом Пеано. Казалось, что все рухнуло, что самые основные математические определения потеряли всякий смысл, не было видно различия между линией и поверхностью, поверхностью и телом (результат о невозможности взаимно однозначного и непрерывного соответствия между отрезком и квадратом еще не был известен). Пуанкаре с горечью воскликнул: "Как могла интуиция до такой степени обмануть нас!"

Стало ясно, что жорданово определение кривой не безупречно. С одной стороны, оно слишком широко: под него подходит и кривая Пеано. А с другой стороны, оно слишком узко — даже окружность с намотанной на нее спиралью уже не является жордановой кривой.

Итак, снова встал вопрос: что же такое линия и чем она отличается от поверхности? Ответ на него был связан с общими исследованиями Кантора о геометрических фигурах.