Континуумы.

Оказывается, что кроме обычных геометрических фигур с помощью выбрасывания счетного множества кругов (квадратов и т. д.) можно получать и другие множества, не слишком похожие на обычные фигуры, но все же обладающие многими интересными свойствами. Например, ковер Серпинского, о котором мы уже говорили, получается именно таким путем: из квадрата со стороной 1 выбрасывают один за другим маленькие квадратики, причем их стороны остаются.

Рис. 24

Однако путем выбрасывания можно получить и "фигуры", не состоящие из одного куска. Например, если удалять "кресты"[75], как на рис. 24, то получится в конце концов множество, не содержащее ни одного целого куска (как говорят, вполне несвязное). Поэтому мы введем ограничение, что после каждого выбрасывания должно оставаться множество, состоящее из одного куска. Тогда и после всех выбрасываний останется множество из одного куска (то есть, как говорят математики, связное). Кроме того, получающееся множество ограничено, то есть целиком лежит в некотором квадрате.

Итак, рассматриваемые множества удовлетворяют следующим условиям:

   1. множество F получается из квадрата выбрасыванием счетного множества кругов с оставлением их границ, то есть замкнуто;

   2. множество F состоит из одного куска, то есть связно.

Эти множества Кантор и назвал континуумами (напомним, что латинское слово continuum означает непрерывный). Континуумы и оказались наиболее общими множествами, свойства которых очень близки к свойствам обычных геометрических фигур.