Новые осложнения.

Успехи, достигнутые в исследовании функций и линий при помощи теории множеств, сделали ее полноправным членом семьи математических наук. Это признание было зафиксировано на состоявшемся в 1897 г. Первом Международном конгрессе математиков, проходившем в швейцарском городе Цюрихе. В докладах виднейших специалистов по математическому анализу А. Гурвица[97] и Ж. Адамара[98] были показаны самые разнообразные применения множеств, вскрыта их связь с общей теорией так называемых аналитических функций. На проведенном через три года Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт поставил среди 23 важнейших нерешенных проблем математики и вопросы, связанные с теорией множеств. Высоко оценил работы Кантора в своем выступлении на том же конгрессе Анри Пуанкаре. Говоря о роли интуиции и логики в математике, он сказал, что в теории множеств математика обрела совершенно прочный и надежный фундамент и теперь в математике остаются только натуральные числа и конечные или бесконечные системы таких чисел. По его мнению, математика стала полностью арифметизированной и в ней, наконец, достигнута абсолютная строгость.

При такой оценке теории множеств, данной ведущими учеными того времени, неудивительно, что на ее создателя Георга Кантора дождем посыпались академические награды — он был избран почетным членом Лондонского королевского общества, членом-корреспондентом Института науки, литературы и искусства в Венеции, почетным доктором математики университета в Христиании (ныне Осло) и т. д.

Но английская пословица гласит, что "каждая семья имеет свой скелет в шкафу" (то есть свои тайны, до поры до времени неизвестные окружающим). Таким скелетом, вываливающимся из шкафа в самые неподходящие моменты, была на протяжении многих тысячелетий развития математики противоречивость самого понятия бесконечности. С тех пор, как эта противоречивость была осознана Зенопом, делались неоднократные попытки снова привести все в норму, причем каждый раз шкаф пытались сделать все прочнее и надежнее. После первой их них, сделанной Евдоксом и Евклидом, прошло два тысячелетия, прежде чем Вейерштрассу и Кантору пришлось предпринимать вторую попытку. И, как мы видели, самые лучшие математики той эпохи считали, что достигнут полный успех. Однако "скелет" оказался на этот раз весьма беспокойным и вновь вывалился из шкафа уже через два с небольшим десятилетия. Как писал по этому поводу Давид Гильберт, "произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а потом все более серьезные... На учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ее умозаключения оказались под угрозой и применение их запрещалось".

Первым сигналом о неблагополучии в самих основах теории множеств оказался парадокс, открытый впервые самим Кантором в 1895 г. и опубликованный два года спустя итальянским математиком Бурали-Форти[99]. Речь шла о множестве, составленном из всех трансфинитных чисел. По своему определению оно было не хуже, чем любое иное множество, так как являлось многим мыслимым как единое. Но у этого множества оказался существеннейший недостаток. Оно само вполне упорядочено и потому должно выражаться каким-то трансфинитным числом Q. Но тогда Q должно было оказаться больше всех трансфинитных чисел, а потому и больше самого себя, что, очевидно, невозможно.

Как выяснилось позднее, столь же противоречиво и множество, составленное из всех множеств. Ведь этому множеству должны принадлежать все его подмножества, что невозможно, так как множество всех подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем само это множество.

Еще один удивительный пример противоречиво определенного множества опубликовал в 1903 г. Бертран Рассел[100]. Как правило, множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так как такие множества рассматриваются редко, назовем их экстраординарными, а все остальные множества — ординарными.

Образуем теперь множество A, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза "множество всех ординарных множеств" хуже, чем фраза "множество всех треугольников". Но на самом деле здесь возникает серьезное логическое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество A — ординарным или экстраординарным. Если оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда, по определению, оно является экстраординарным. Если же множество A экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества A есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали!

Получилось логическое противоречие — множество A не может быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логические противоречия возникают и в гораздо более простых случаях. Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а лучше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество A состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова "нуль", "один", "два" и т. д.).

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно. Пусть это будут числа r₁, r₂,..., r_N. Определим теперь рациональное число r следующим образом:

r = 0, n₁, n₂, ..., n_N.

где n_i (i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятичный знак числа r_i отличен от единицы, в противном же случае n_i = 2.

Число r не совпадает с r₁, так как отличается от него первым десятичным знаком, не совпадает с r₂, так как отличается от него вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит в множество A. Между тем это число определено нами при помощи не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий.

Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму — все остальные прилагательные. Например, прилагательное "русское" отнесем к первому классу, так как слово "русское" принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное "пятисложное", так как в слове "пятисложное" именно пять слогов. А прилагательное "немецкое" отнесем во второй класс, так как слово "немецкое" входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово "односложное", так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово "синее", так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто — сам и логос — смысл, закон), а прилагательные второго класса гетер о логичными (гетерос — другой). Слова автологичный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологичный трудностей не возникает — его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает,- ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетерологичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.

Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит авто логичных слов.

Эти и аналогичные им парадоксы восходят к древнему парадоксу "Лжец", который приписывают греческому философу Евбулиду из Милета. Он состоит в том, что человек, говорящий "я лгу", не может быть ни говорящим правду, ни лжецом: если, произнося эти слова, он говорит правду, то он лжет, а если он, произнося эти слова, лжет, то он говорит правду.

Конечно, проще всего было бы сказать, что в теории множеств не рассматриваются столь причудливые множества. Однако, если не дать точного определения, какие же множества следует рассматривать, а какие отбросить, можно оказаться в положении человека, который, беседуя с длинноносым собеседником, сказал, "говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные". Это далеко не лучший способ избежать щекотливой темы.