Джинн выходит из бутылки.

Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс бесконечно много и рациональных чисел и иррациональных чисел. Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для иррациональных — нулю. Поэтому когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Построить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта функция во всех точках разрывна.

Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданными свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция должна успеть опуститься из точки максимума в точку минимума, потом опять подняться в точку максимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют, причем построить их совсем нетрудно.

Построим такую функцию на отрезке [0, 1]. Для этого разделим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части [¹/₂, ³/₄] построим второй равносторонний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много раз. У нас получится "горная цепь", состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1 (рис. 12). Примем полученную ломаную за график функции f(x). Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка [0, 1], за исключением крайней правой точки 1. В этой точке положим f(1) = 0.

Рис. 12

Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка [0, 1]. А число максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико!

Математику XVIII в., чтобы построить такую странную функцию, понадобилось бы долго комбинировать различные функции, прежде чем он догадался бы, что функция

имеет бесконечно много максимумов и минимумов на отрезке [0, 1].

Но функции с бесконечным числом максимумов и минимумов были лишь началом неприятностей, ожидавших математиков. Джинн только начал выходить из бутылки.