Большие ирригационные работы.

Проследить в рамках этой книги за всеми областями математики, которыми стали заниматься бывшие лузитане, совершенно невозможно — для этого надо было бы написать книгу по истории советской математики. Мы расскажем лишь о том, как идеи теории бесконечных множеств были применены в топологии — науке о свойствах фигур, остающихся неизменными при преобразованиях самого общего вида. Надо только, чтобы эти преобразования были взаимно однозначными и чтобы не было ни разрывов, ни склеек. Первоначально топологи изучали лишь фигуры, которые можно разбить на конечное число простейших фигур, называемых симплексами (точек, отрезков, треугольников, тетраэдров). Но потом они применили свои идеи к множествам гораздо более сложного строения. И тут выяснилось, что геометрическая интуиция, верно служившая им раньше, дает неверные ответы на многие вопросы.

Рис. 30

Несколько удивительных примеров кривых и областей на плоскости построил голландский математик Брауэр[95]. Мы расскажем сейчас об одном из самых удивительных среди этих примеров. Нарисуем карту какой-нибудь страны и сопредельных с ней стран. Почти каждая точка границы этой страны принадлежит двум и только двум странам: данной и одной из сопредельных. Поэтому в каждой точке границы стоят два пограничника: один из этой страны, а другой — из сопредельной. Есть на карте несколько точек, где сходятся три страны (рис. 30). В таких точках стоят уже три пограничника. Но таких мест на карте лишь конечное число. И кажется совершенно очевидным, что такие точки не могут заполнить всю границу страны, то есть что не может быть трех областей (трех стран), имеющих одну и ту же общую границу. Иными словами, кажется очевидным, что три пограничника из трех разных стран не могут стоять в каждой точке границы.

А Брауэр построил такие три области. Чтобы понять этот пример, представим себе, что в океане есть остров, на котором находятся два озера с пресной водой. Только в одном озере вода холодная, а в другом — теплая. Теперь проведем следующие ирригационные работы. В течение первых суток проведем каналы от океана и от обоих озер так, чтобы каждый из этих каналов был "слепым" (то есть только заливом соответствующего водоема), чтобы эти каналы нигде не соприкасались друг с другом и чтобы в результате расстояние каждой точки суши до океанских вод, а также до вод обоих озер было меньше 1 километра (рис. 31).

Рис. 31

В следующую половину суток продолжим эти каналы так, что они по-прежнему остаются "слепыми" и не соприкасаются между собой, а расстояние от каждой точки суши до любого из трех каналов становится меньше, чем ¹/₂ километра. При этом, конечно, каналы должны стать более узкими, чем ранее. В следующую четверть суток каналы продолжаются дальше так, чтобы каждая точка суши отстояла от любого канала меньше, чем на ¹/₄ километра, и т. д. С каждым шагом каналы становятся все извилистее и извилистее, все уже и уже. Через двое суток такой работы весь остров будет пронизан этими тремя каналами и превратится в канторову линию. Стоя в любой точке этой линии, можно зачерпнуть, по желанию, соленой, теплой пресной или холодной пресной воды. При этом воды не смешиваются друг с другом, Если бы вместо океана и озер мы взяли три страны, то получили бы ту удивительную картину, о которой говорили вначале,- в каждой точке границы можно поставить трех пограничников — по одному от каждой страны.