Несостоявшаяся перепись.

До сих пор я рассказывал об удачах директора необыкновенной гостиницы: о том, как ему удалось вселить в заполненную гостиницу еще бесконечно много постояльцев, а потом даже жителей из бесконечного множества столь же необычных гостиниц. Но был случай, когда и этого мага и чародея постигла неудача.

Из треста космических гостиниц пришел приказ составить заранее все возможные варианты заполнения номеров. Эти варианты потребовали представить в виде таблицы, каждая строка которой изображала бы один из вариантов. При этом заполненные номера должны были изображаться единицами, а пустые нулями. Например, вариант

101010101010...

означал, что все нечетные номера заняты, а все четные пустые, вариант

11111111111...

означал заполнение всей гостиницы, а вариант

000000000000...

означал полный финансовый крах — все номера пустовали.

Директор был перегружен работой и поэтому придумал простой выход из положения. Каждой дежурной по этажу было поручено составить столько вариантов заполнения, сколько номеров было в ее ведении. При этом были приняты меры" чтобы варианты не повторялись. Через несколько дней списки были представлены директору, и он объединил их в один список.

- Уверены ли Вы, что этот список полон? — спросил я директора.- Не пропущен ли какой-нибудь вариант?

- Не знаю,- ответил он.- Вариантов в списке бесконечно много, и я не понимаю, как проверить, нет ли еще какого-нибудь варианта.

И тут у меня блеснула идея (впрочем, быть может, я несколько преувеличиваю свои способности, просто беседы с профессором Тарантогой о бесконечных множествах не прошли бесследно).

- Могу ручаться, что список неполон. Я берусь указать вариант, который наверняка пропущен.

- С тем, что список неполон, я еще соглашусь. А вот пропущенного варианта указать не удастся — ведь здесь уже бесконечно много вариантов.

Мы заключили пари. Чтобы выиграть его, я предложил прибить каждый вариант на дверь того номера, которому он соответствовал (если читатель помнит, вариантов было составлено именно столько, сколько было номеров в гостинице). А потом я поступил очень просто. Подойдя к двери первого номера, я увидел, что соответствующий вариант начинается с цифры 0. Немедленно в блокноте появилась цифра 1; это и была первая цифра варианта, который мне хотелось составить.

Когда я подошел к двери второго номера, то первая цифра соответствующего варианта меня не интересовала, ведь первая цифра моего варианта была уже написана. Поэтому все внимание было обращено на вторую цифру. Увидев, что эта цифра 1, я записал в своем блокноте цифру 0. Точно так же, обнаружив, что третья цифра варианта, прибитого к двери третьего номера, тоже 1, я записал в блокноте цифру 0. Вообще, если я обнаруживал, что n-я цифра n-го варианта есть 0, то писал в своем блокноте на n-м месте цифру 1, если же n-я цифра n-го варианта была 1, то n писал у себя 0.

Когда я обошел все номера гостиницы, то в блокноте оказалась записанной последовательность нулей и единиц.

Войдя в кабинет директора, я сказал:

- Вот, полюбуйтесь на пропущенный вариант.

- А откуда известно, что он пропущен?

- Он не может быть первым, так как отличается от него первой цифрой, не может быть вторым, так как отличается от него второй цифрой, третьим, так как отличается от него третьей цифрой, и вообще n-м, так как отличается от него n-й цифрой.

Пари было выиграно, и я получил вечное право бесплатного проживания в этой гостинице.

Но одновременно стало ясно, что какое бы счетное множество вариантов ни взять, всегда найдется вариант, не вошедший в это множество (эти варианты всегда можно развесить по дверям номеров). А это и значит, что множество всех вариантов заполнения гостиницы несчетно, задача, поставленная перед директором, оказалась невыполнимой.

Было решено дать об этом телеграмму. Надо сказать, что и телеграф в необыкновенной гостинице был тоже необычным, он передавал телеграммы, состоящие не из конечного, а из бесконечного (точнее говоря, счетного) множества точек и тире. Например, они имели такой вид:

-.-----.--------. и т. д.

Я сразу сообразил, что и множество таких телеграмм тоже несчетно, ведь вместо точек и тире можно ставить нули и единицы, а тогда не будет никакой разницы между телеграммами со счетным множеством знаков и множеством всех вариантов заполнения гостиницы.

Отправив телеграмму, я тепло попрощался с директором гостиницы и полетел в галактику РГЦ-8067, где должен был произвести астрографическую съемку...