Чертова лестница.

С тем же самым канторовым множеством связана еще одна интересная функция. Она строится следующим образом. Снова разделим отрезок [0, 1] на три равные части и положим, что во всех точках средней части наша функция равна ¹/₂. Потом левую и правую трети снова разделим на три равные части и положим, что от ¹/₉ до ²/₉ функция равна ¹/₄, а от ⁷/₉ до ⁸/₉ она равна ³/₄. Теперь у нас остались четыре отрезка, на которых функция еще не определена:

Разделим каждый из них на три равные части и на каждой из средних частей положим функцию равной соответственно

Продолжая этот процесс, мы получим функцию, которая определена во всех "сухих" точках, то есть во всех точках, не принадлежащих канторову множеству. Ее легко определить и в точках этого множества так, чтобы она стала после этого непрерывной и неубывающей. График получившейся функции приближенно изображен на рис. 14. Он имеет вид лестницы с бесконечным числом ступенек (на графике изображены не все ступени).

Рис. 14

Впрочем, после того как мы познакомились с линиями, имеющими бесконечно много максимумов и минимумов, лестницей с бесконечным числом ступенек вряд ли кого удивишь. Но удивительно другое. Подсчитаем общую длину всех ступенек нашей лестницы. Первая ступень имеет длину ¹/₃, две вторые — по ¹/₉, следующие четыре ступени имеют длину по ¹/₂₇ и т. д. Таким образом, сумма длин всех ступеней выражается бесконечной геометрической прогрессией

Сумма этой прогрессии равна 1:

Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1.

Но на этих ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого множества осталось очень "мало" точек: хотя его мощность и равна континууму, но длина равна нулю! (Длина всего отрезка [0, 1] равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю канторова множества остается лишь нулевая длина.) Таким образом, наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не правда ли, удивительно?