Аксиоматизация бесконечности.

Иной путь преодоления трудностей теории бесконечных множеств выбрали математики, начавшие строить для нее систему аксиом. Одна из этих систем была предложена в 1908 г. Цермело и усовершенствована потом А. Френкелем. В аксиоматике Цермело — Френкеля описываются свойства отношения принадлежности x?y, с помощью которого определяются отношения включения x?z у для множеств и понятие равенства множеств. Формулируются аксиомы, утверждающие, что два множества, содержащие одни и те же элементы, равны, а равные множества содержатся в одних и тех же множествах. Далее идут аксиомы, кодифицирующие правила составления множеств — образование пары множеств и объединения любой совокупности множеств. Кроме того, вводится аксиома о существовании множества, составленного из всех подмножеств данного множества. Наконец, к той же группе аксиом относится правило, позволяющее выделять из данного множества его подмножество, зная некоторые свойства его элементов. Эта аксиома отсекает парадоксальные множества, предложенные Кантором, Бурали-Форти и Расселом,- все они задавались свойствами своих элементов, но не были подмножествами какого-то "законного" множества.

Из указанных выше аксиом можно получить существование пустого множества, а также из каждого множества x получить новое множество {x}, единственным элементом которого является x. В систему аксиом Цермело — Френкеля входит, разумеется, аксиома выбора. Кроме того, в этой системе содержится аксиома о том, что образ множества при некотором отображении является множеством. Наконец, в этой системе есть аксиома бесконечности, которая по сути дела утверждает, что существует бесконечное множество натуральных чисел (хотя в ее формулировку это понятие и не входит).

Для любой системы аксиом критическими являются два вопроса: нельзя ли вывести из нее два противоречащих друг другу утверждения и можно ли с ее помощью доказать или опровергнуть любое утверждение, формулируемое в относящихся к ней терминах? Сторонники системы аксиом Цермело — Френкеля усматривают доказательство ее непротиворечивости в том, что до сих пор из нее не удалось вывести противоречивых утверждений (что, впрочем, не гарантирует того же в дальнейшем). В качестве же проверки силы этой системы аксиом был поставлен вопрос о возможности доказать или опровергнуть на ее основе континуум-гипотезу Кантора. Однако и в этом направлении исследования привели к совершенно удивительным результатам.

Началось с того, что в 1939 г. тот же Курт Гёдель доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Присоединив к системе аксиом теории множеств утверждение Кантора, он получил непротиворечивую систему аксиом (разумеется, эта непротиворечивость имела относительный характер при условии, что все остальные аксиомы этой системы не противоречили друг другу).

Но уже давно Лузин предвидел, что может возникнуть парадоксальная ситуация, когда аксиомам теории множеств не будут противоречить ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание. В 1963 г. Поль Коэн[109] доказал, что дело обстоит именно так. Ему удалось доказать, что из системы аксиом Цермело — Френкеля нельзя вывести континуум-гипотезу. Кроме того, оказалось, что аксиома выбора не зависит от остальных аксиом Цермело — Френкеля подобно тому, как аксиома о параллельных не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе остальных аксиом геометрии. При этом выяснилось, что к системе аксиом, полученной из системы Цермело — Френкеля заменой аксиомы выбора на ее отрицание, можно без противоречия присоединить и утверждение о невозможности полной упорядоченности континуума. Почти одновременно с Коэном близкие (и даже более сильные) результаты получил чешский математик П. Вопенка.

Положение в математике, создавшееся после работ Геделя, Коэна и Вопенки, отчасти напоминает ситуацию, сложившуюся в геометрии после работ Н. И. Лобачевского и Я. Больяи[110]. Но евклидова и неевклидова геометрии были разными математическими моделями реального мира, и выбор между ними касался физики, а не математики — основы математики не были затронуты этими открытиями. Теперь же дело идет именно об этих основах — ведь оказалось, что математик может по своему произволу решать, какая теория множеств ему больше нравится — та, в которой верны аксиома выбора и гипотеза континуума, или та, в которой аксиома выбора отвергается, а континуум нельзя даже вполне упорядочить. Ему предоставляются и иные возможности, например принять аксиому выбора и отвергнуть гипотезу континуума, хотя в этом случае он и обязан считать, что континуум имеет свое место на шкале трансфинитов, но где оно находится, неизвестно.

А если принять во внимание, что теория множеств претендует на роль основы всей математической науки, то получается, что существует не одна математика, а много различных наук, носящих это имя, и выбор между ними — дело исследователя. Разумеется, каждая из математик дает свою математическую модель реального мира, но различие между ними слишком глубоко и затрагивает самые фундаментальные вопросы теории познания. Можно полагать, что если бы Гильберт дожил до работ Коэна, он взял бы назад свои гордые слова: "Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе математической индукции, способности разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ни, наконец, как Рассел и Уайтхед[111], в аксиомах бесконечности, редукции и полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе неправдоподобными".

Теперешнему математику ближе точка зрения, высказанная известным американским математиком и логиком Куайном[112]:

"С 1901 года появилось большое число теорий множеств, но ни одна из них не имела бесспорного преимущества перед другими. Даже вопрос о том, свободны ли они от собственных противоречий, является спорным в рамках такого рассмотрения, поскольку мы не можем больше доверять здравому смыслу при установлении правдоподобия тех или иных предложений. Теория множеств дискредитирована парадоксами, и в качестве основания математики она оказывается гораздо менее надежной, чем ее надстройка.

Таким образом, теорию множеств, очевидно, не следует рассматривать как основание математики, надеясь на то, что она избавит нас от опасений за прочность классической математики. При разработке всевозможных систем мы пытаемся лишь найти схему, которая воспроизводила бы при соответствующей надстройке принятые законы классической математики. На данном этапе мы рассматриваем теорию множеств как удобный краткий словарь математических терминов, используемый для формулирования общей системы аксиом классической математики".

Приведем еще мнение по этому вопросу академика А. Н. Колмогорова:

"Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным".