Измерение кривизны.

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности. За меру кривизны некоторого участка поверхности они приняли угол поворота отрезка, параллельно перенесенного вдоль границы этого участка. Эту кривизну можно было считать и по-другому: разбить участок на треугольники и сложить избытки всех треугольников. Ведь, если два треугольника объединяются в один, то их избытки складываются.

Оказалось, что чем больше площадь участка, тем сильнее он искривлен. Точнее говоря, избыток любого треугольника оказался пропорционален его площади:

? + ? +? — ? = kS(1)

мы будем измерять углы не в градусах, а в радианах; при таком измерении сумма углов плоского треугольника равна ?). Отсюда был сделан вывод, что кривизна поверхности на единицу площади всюду одна и та же. Число к и приняли за меру кривизны.

Но среди всех поверхностей есть только одна поверхность, для которой избыток треугольника на единицу площади всегда один и тот же — это сфера. Поэтому геометры Ялмеза установили, что они живут на сфере, а не на какой-нибудь другой поверхности. Без особого труда удалось даже найти радиус этой сферы. Ведь если число к не зависит от выбора треугольника, его достаточно подсчитать для одного треугольника. Возьмем, например, треугольник ABC на рис. 2, а. Его избыток равен 90°, или, в радианной мере, ^?/₂. Площадь же этого треугольника равна ¹/₈ площади сферы, то есть ^?R2/₂. Подставляя эти значения в формулу (1), получаем, что k = ¹/_R², а потому для любого сферического треугольника

? + ? +? — ? = ^S/_R²,

где ?, ?, ? — его углы, S — площадь и R — радиус сферы. Полученная формула позволяет определить радиус сферы путем измерения углов и площади треугольника. Разумеется, этот способ не очень удобен, так как требует весьма большой точности измерения углов. Для измерения радиуса Земли прибегли к иному способу — измерению длины дуги меридиана, что потребовало наблюдений за звездами.